Question

20．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，AC=3，以BC为直径的半圆交AB于点D，则阴影部分的面积为$\frac{45}{16}$$\sqrt{3}$+$\frac{9π}{80}$．

Answer 1

分析 连接OD，CD，根据三角函数的定义得到∠B=30°，根据圆周角定理得到∠COD=60°，求得BC=3$\sqrt{3}$，解直角三角形得到CD=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，BD=$\frac{9}{2}$，于是得到结论．

解答 解：连接OD，CD，
∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，AC=3，
∴sin∠B=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠B=30°，
∴∠COD=60°，
∴BC=3$\sqrt{3}$，
∵BC为⊙O的直径，
∴CD⊥BD，
∴CD=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，BD=$\frac{9}{2}$，
∴阴影部分的面积=S_△ABC-S_扇形COD-S_△BOD=$\frac{1}{2}×$3×3$\sqrt{3}$-$\frac{60•π×（\frac{3\sqrt{3}}{2}）^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$×$\frac{3\sqrt{3}}{2}$×$\frac{9}{2}$=$\frac{45}{16}$$\sqrt{3}$+$\frac{9π}{80}$．
故答案为：$\frac{45}{16}$$\sqrt{3}$+$\frac{9π}{80}$．

点评 本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式、三角形中位线定理、梯形的面积公式是解题的关键．