Question

9．如图．以点P（1，-2）为圆心，$2\sqrt{2}$为半径的⊙P交x轴于点A，B，抛物线y=ax²+bx+c经过点A，B和点M（1，-8）．
（1）求点A，B坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）抛物线上是否存在点Q，使PQ和OM互相平分？如果存在，求出点Q坐标；不存在请简要说明理由．

Answer 1

分析 （1）过P作PM⊥x轴于M，连接PA、PB，根据勾股定理求出AM、BM即可；
（2）把A、B、M的坐标代入抛物线得出方程组，求出方程组的解即可；
（3）求出抛物线和y轴的交点，即可得出此点符合条件．

解答 解：
（1）过P作PM⊥x轴于M，连接PA、PB，如图1，
∵以点P（1，-2）为圆心，$2\sqrt{2}$为半径的⊙P交x轴于点A，B，
∴PA=PB，PM=2，OM=1，PA=PB=2$\sqrt{2}$，
由勾股定理得：AM=BM=2，
∴A（-1，0），B（3，0）；

（2）把A、B、M的坐标代入y=ax²+bx+c得：M（1，-8）
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{a+b+c=-8}\end{array}\right.$，
解得：a=a2，b=-4，c=-6，
所以抛物线的解析式是y=2x²-4x-6；

（3）如图2，y=2x²-4x-6，
当x=0时，y=-6，
即Q点的坐标是（0，-6），
连接PQ、OP、QM，
此时QMPO是平行四边形，
所以OM和PQ互相平分，
即抛物线上存在点Q，使PQ和OM互相平分，此时点Q坐标是（0，-6）．

点评 本题考查了勾股定理，用待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的判定的应用，能综合性运用性质进行计算是解此题的关键，难度偏大．