Question

4．如图1，在平面直角坐标系中，AB⊥x轴正半轴于点A，连接OB，B（2，8），AD是∠BAO外角的角平分线，过点B作BD⊥AD于点D．

（1）求点D的坐标；
（2）如图2，动点P，从B点出发，沿BA以2个单位的速度向A运动，PQ∥BD交AD于点Q，交y轴于点G，设四边形OAQG的面积为S，运动时间为t，请用t表示S的关系式；
（3）在（2）的条件下，当t为何值时，Rt△OAP的两直角边的比为2：1；并求此时直线PQ与x轴交点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）先证得△ABD是等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质证得DE=AE=$\frac{1}{2}$AB，即可求得D的坐标；
（2）根据题意求得OG=10-2t，PA=8-2t，然后根据S=S_梯形APGO+S_△PAQ，即可求得用t表示S的关系式；
（3）根据题意求得P（2，4）或（2，1），然后根据待定系数法求得PQ的解析式，即可求得直线PQ与x轴交点M的坐标．

解答 解：（1）如图1，∵AB⊥x轴正半轴于点A，AD是∠BAO外角的角平分线，
∴∠DAB=45°，
∵BD⊥AD，
∴∠DBA=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
作DE⊥AB于D，
∴DE=AE=$\frac{1}{2}$AB，
∵B（2，8），
∴AE=DE=4，
∴D（6，4）；
（2）如图2，∵B（2，8），D（6，4），
∴直线BD的解析式为y=-x+10，
∴直线BD与y轴的交点F的坐标为（0，10），
∵AB∥y轴，BD∥PQ，
∴四边形DQGF是平行四边形，
∴FG=PB=2t，
∴OG=10-2t，PA=8-2t，
∵BD∥PQ，
∴PQ⊥AD，
∴△APQ是等腰直角三角形，
∴PQ=AQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（8-2t），
∴S=S_梯形APGO+S_△PAQ=$\frac{1}{2}$（8-2t+10-2t）×2+$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（8-2t）×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（8-2t），
=t²-12t+34，
即S=t²-12t+34，（0≤t≤4）；
（3）如图3，∵Rt△OAP的两直角边的比为2：1，OA=2，
∴AP=4或1，
当AP=4时，则P（2，4），
∵BD∥PQ，直线BD的解析式为y=-x+10，
∴设直线PQ的解析式为y=-x+n，
把P（2，4）代入得，4=-2+n，交点n=6，
∴直线PQ的解析式为y=-x+6，
∴M（6，0）；
当AP=1时，则P（2，1），
同理，即可求得M（3，0），
∴P的坐标为（6，0）或（3，0）．

点评 本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，待定系数法求一次函数的解析式，根据题意求得线段OG、PA、PQ、AQ的长是解题的关键．