正方形ABCD的边长为3.点E.F分别在射线DC.DA上运动.且DE=DF．连接BF.作EH⊥BF所在直线于点H.连接CH．(1)如图1.若点E是DC的中点.CH与AB之间的数量关系是CH=AB,(2)如图2.当点E在DC边上且不是DC的中点时.(1)中的结论是否成立?若成立给出证明,若不成立.说明理由,(3)如图3.当点E.F分别在射线DC.DA上运动时.连接DH.过点D� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE=DF．连接BF，作EH⊥BF所在直线于点H，连接CH．
（1）如图1，若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是CH=AB；
（2）如图2，当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论是否成立？若成立给出证明；若不成立，说明理由；
（3）如图3，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH的垂线，交直线BF于点K，连接CK，请直接写出线段CK长的最大值．

分析（1）首先根据全等三角形判定的方法，判断出△ABF≌△CBE，即可判断出∠1=∠2；然后根据EH⊥BF，∠BCE=90°，可得C、H两点都在以BE为直径的圆上，判断出∠4=∠HBC，即可判断出CH=BC，最后根据AB=BC，判断出CH=AB即可．
（2）首先根据全等三角形判定的方法，判断出△ABF≌△CBE，即可判断出∠1=∠2；然后根据EH⊥BF，∠BCE=90°，可得C、H两点都在以BE为直径的圆上，判断出∠4=∠HBC，即可判断出CH=BC，最后根据AB=BC，判断出CH=AB即可．
（3）首先根据三角形三边的关系，可得CK＜AC+AK，据此判断出当C、A、K三点共线时，CK的长最大；然后根据全等三角形判定的方法，判断出△DFK≌△DEH，即可判断出DK=DH，再根据全等三角形判定的方法，判断出△DAK≌△DCH，即可判断出AK=CH=AB；最后根据CK=AC+AK=AC+AB，求出线段CK长的最大值是多少即可．

解答解：（1）如图1，连接BE，，
在正方形ABCD中，
AB=BC=CD=AD，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，
∵点E是DC的中点，DE=DF，
∴点F是AD的中点，
∴AF=CE，
在△ABF和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}AB=CB\\∠A=∠BCE\\ AF=CE\end{array}\right.$
∴△ABF≌△CBE，
∴∠1=∠2，
∵EH⊥BF，∠BCE=90°，
∴C、H两点都在以BE为直径的圆上，
∴∠3=∠2，
∴∠1=∠3，
∵∠3+∠4=90°，∠1+∠HBC=90°，
∴∠4=∠HBC，
∴CH=BC，
又∵AB=BC，
∴CH=AB．
故答案为：CH=AB．
（2）当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论CH=AB仍然成立．
如图2，连接BE，，
在正方形ABCD中，
AB=BC=CD=AD，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，
∵AD=CD，DE=DF，
∴AF=CE，
在△ABF和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}AB=CB\\∠A=∠BCE\\ AF=CE\end{array}\right.$
∴△ABF≌△CBE，
∴∠1=∠2，
∵EH⊥BF，∠BCE=90°，
∴C、H两点都在以BE为直径的圆上，
∴∠3=∠2，
∴∠1=∠3，
∵∠3+∠4=90°，∠1+∠HBC=90°，
∴∠4=∠HBC，
∴CH=BC，
又∵AB=BC，
∴CH=AB．

（3）如图3，，
∵CK≤AC+AK，
∴当C、A、K三点共线时，CK的长最大，
∵∠KDF+∠ADH=90°，∠HDE+∠ADH=90°，
∴∠KDF=∠HDE，
∵∠DEH+∠DFH=360°-∠ADC-∠EHF=360°-90°-90°=180°，
∠DFK+∠DFH=180°，
∴∠DFK=∠DEH，
在△DFK和△DEH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠KDF=∠HDE}\\{DF=DE}\\{∠DFK=∠DEH}\end{array}\right.$
∴△DFK≌△DEH，
∴DK=DH，
在△DAK和△DCH中，
$\left\{\begin{array}{l}{DA=DC}\\{∠KDA=∠HDC}\\{DK=DH}\end{array}\right.$
∴△DAK≌△DCH，
∴AK=CH
又∵CH=AB，
∴AK=CH=AB，
∵AB=3，
∴AK=3，AC=3$\sqrt{2}$，
∴CK=AC+AK=AC+AB=$3\sqrt{2}+3$，
即线段CK长的最大值是$3\sqrt{2}+3$．