题目内容
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，AB=10cm．点P从点A出发，以5cm/s的速度从点A运动到终点B；同时，点Q从点C出发，以3cm/s的速度从点C运动到终点B，连结PQ；过点P作PD⊥AC交AC于点D，将△APD沿PD翻折得到△A′PD，以A′P和PB为邻边作?A′PBE，A′E交射线BC于点F，交射线PQ于点G．设?A′PBE与四边形PDCQ重叠部分图形的面积为Scm2，点P的运动时间为ts．（1）当t为何值时，点A′与点C重合；
（2）用含t的代数式表示QF的长；
（3）求S与t的函数关系式；
（4）请直接写出当射线PQ将?A′PBE分成的两部分图形的面积之比是1：3时t的值．
考点：相似形综合题,解一元一次不等式组,等腰三角形的判定与性质,勾股定理,平行四边形的性质,相似三角形的判定与性质
专题：压轴题
分析：（1）易证△ADP∽△ACB，从而可得AD=4t，由折叠可得AA′=2AD=8t，由点A′与点C重合可得8t=8，从而可以求出t的值．
（2）根据点F的位置不同，可分点F在BQ上（不包括点B）、在CQ上（不包括点Q）、在BC的延长线上三种情况进行讨论，就可解决问题．
（3）根据点F的位置不同，可分点F在BQ上（不包括点B）、在CQ上（不包括点Q）、在BC的延长线上三种情况进行讨论，就可解决问题．
（4）可分①S△A′PG：S四边形PBEG=1：3，如图7，②S△BPN：S四边形PNEA′=1：3，如图8，两种情况进行讨论，就可解决问题．
（2）根据点F的位置不同，可分点F在BQ上（不包括点B）、在CQ上（不包括点Q）、在BC的延长线上三种情况进行讨论，就可解决问题．
（3）根据点F的位置不同，可分点F在BQ上（不包括点B）、在CQ上（不包括点Q）、在BC的延长线上三种情况进行讨论，就可解决问题．
（4）可分①S△A′PG：S四边形PBEG=1：3，如图7，②S△BPN：S四边形PNEA′=1：3，如图8，两种情况进行讨论，就可解决问题．
解答：解：（1）如图1，
由题可得：PA′=PA=5t，CQ=3t，AD=A′D．
∵∠ACB=90°，AC=8，AB=10，∴BC=6．
∵∠ADP=∠ACB=90°，
∴PD∥BC．
∴△ADP∽△ACB．
∴
=
=
．
∴
=
=
．
∴AD=4t，PD=3t．
∴AA′=2AD=8t．
当点A′与点C重合时，AA′=AC．
∴8t=8．
∴t=1．
（2）①当点F在线段BQ上（不包括点B）时，如图1，
则有CQ≤CF＜CB．
∵四边形A′PBE是平行四边形，
∴A′E∥BP．
∴△CA′F∽△CAB．
∴
=
．
∴
=
．
∴CF=6-6t．
∴3t≤6-6t＜6．
∴0＜t≤
．
此时QF=CF-CQ=6-6t-3t=6-9t．
②当点F在线段CQ上（不包括点Q）时，如图2，
则有0≤CF＜CQ．
∵CF=6-6t，CQ=3t，
∴0≤6-6t＜3t．
∴
＜t≤1．
此时QF=CQ-CF=3t-（6-6t）=9t-6．
③当点F在线段BC的延长线上时，如图3，
则有AA′＞AC，且AP＜AB．
∴8t＞8，且5t＜10．
∴1＜t＜2．
同理可得：CF=6t-6．
此时QF=QC+CF=3t+6t-6=9t-6．
综上所述：当0＜t≤
时，QF=6-9t；当
＜t＜2时，QF=9t-6．
（3）①当0＜t≤
时，
过点 A′作A′M⊥PG，垂足为M，如图4，
则有A′M=CQ=3t．
∵
=
=
，
=
=
，
∴
=
，
∵∠PBQ=∠ABC，
∴△BPQ∽△BAC．
∴∠BQP=∠BCA．
∴PQ∥AC．
∵AP∥A′G．
∴四边形APGA′是平行四边形．
∴PG=AA′=8t．
∴S=S△A′PG=
PG•A′M
=
×8t×3t=12t2．
②当
＜t≤1时，
过点 A′作A′M⊥PG，垂足为M，如图5，
则有A′M=QC=3t，PQ=DC=8-4t，PG=AA′=8t，QG=PG-PQ=12t-8，QF=9t-6．
∴S=S△A′PG-S△GQF
=
PG•A′M-
QG•QF
=
×8t×3t-
×（12t-8）×（9t-6）
=-42t2+72t-24．
③当1＜t＜2时，如图6，
∵PQ∥AC，PA=PA′
∴∠BPQ=∠PAA′，∠QPA′=∠PA′A，∠PAA′=∠PA′A．
∴∠BPQ=∠QPA′．
∵∠PQB=∠PQS=90°，
∴∠PBQ=∠PSQ．
∴PB=PS．
∴BQ=SQ．
∴SQ=6-3t．
∴S=S△PQS=
PQ•QS=
×（8-4t）×（6-3t）=6t2-24t+24．
综上所述：当0＜t≤
时，S=12t2；
当
＜t≤1时，S=-42t2+72t-24；
当1＜t＜2时，S=6t2-24t+24．
（4）①若S△A′PG：S四边形PBEG=1：3，
过点A′作A′M⊥PG，垂足为M，过点A′作A′T⊥PB，垂足为T，如图7，
则有A′M=PD=QC=3t，PG=AA′=8t．
∴S△A′PG=
×8t×3t=12t2．
∵S△APA′=
AP•A′T=
AA′•PD，
∴A′T=
=
=
t．
∴S?PBEA′=PB•A′T=（10-5t）×
t=24t（2-t）．
∵S△A′PG：S四边形PBEG=1：3，
∴S△A′PG=
×S?PBEA′．
∴12t2=
×24t（2-t）．
∵t＞0，
∴t=
．
②若S△BPN：S四边形PNEA′=1：3，如图8，
同理可得：∠BPQ=∠A′PQ，BQ=6-3t，PQ=8-4t，S?PBEA′=24t（2-t）．
∵四边形PBEA′是平行四边形，
∴BE∥PA′．
∴∠BNP=∠NPA′．
∴∠BPN=∠BNP．
∴BP=BN．
∵∠BQP=∠BQN=90°，
∴PQ=NQ．
∴S△BPN=
PN•BQ=PQ•BQ
=（8-4t）×（6-3t）．
∵S△BPN：S四边形PNEA′=1：3，
∴S△BPN=
×S?PBEA′．
∴（8-4t）×（6-3t）=
×24t（2-t）．
∵t＜2，
∴t=
．
综上所述：当射线PQ将?A′PBE分成的两部分图形的面积之比是1：3时，t的值为
秒或
秒．
由题可得：PA′=PA=5t，CQ=3t，AD=A′D．
∵∠ACB=90°，AC=8，AB=10，∴BC=6．
∵∠ADP=∠ACB=90°，
∴PD∥BC．
∴△ADP∽△ACB．
∴
| AD |
| AC |
| PD |
| BC |
| AP |
| AB |
∴
| AD |
| 8 |
| PD |
| 6 |
| 5t |
| 10 |
∴AD=4t，PD=3t．
∴AA′=2AD=8t．
当点A′与点C重合时，AA′=AC．
∴8t=8．
∴t=1．
（2）①当点F在线段BQ上（不包括点B）时，如图1，
则有CQ≤CF＜CB．
∵四边形A′PBE是平行四边形，
∴A′E∥BP．
∴△CA′F∽△CAB．
∴
| CF |
| CB |
| CA′ |
| CA |
∴
| CF |
| 6 |
| 8-8t |
| 8 |
∴CF=6-6t．
∴3t≤6-6t＜6．
∴0＜t≤
| 2 |
| 3 |
此时QF=CF-CQ=6-6t-3t=6-9t．
②当点F在线段CQ上（不包括点Q）时，如图2，
则有0≤CF＜CQ．
∵CF=6-6t，CQ=3t，
∴0≤6-6t＜3t．
∴
| 2 |
| 3 |
此时QF=CQ-CF=3t-（6-6t）=9t-6．
③当点F在线段BC的延长线上时，如图3，
则有AA′＞AC，且AP＜AB．
∴8t＞8，且5t＜10．
∴1＜t＜2．
同理可得：CF=6t-6．
此时QF=QC+CF=3t+6t-6=9t-6．
综上所述：当0＜t≤
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
（3）①当0＜t≤
| 2 |
| 3 |
过点 A′作A′M⊥PG，垂足为M，如图4，
则有A′M=CQ=3t．
∵
| BP |
| BA |
| 10-5t |
| 10 |
| 2-t |
| 2 |
| BQ |
| BC |
| 6-3t |
| 6 |
| 2-t |
| 2 |
∴
| BP |
| BA |
| BQ |
| BC |
∵∠PBQ=∠ABC，
∴△BPQ∽△BAC．
∴∠BQP=∠BCA．
∴PQ∥AC．
∵AP∥A′G．
∴四边形APGA′是平行四边形．
∴PG=AA′=8t．
∴S=S△A′PG=
| 1 |
| 2 |
=
| 1 |
| 2 |
②当
| 2 |
| 3 |
过点 A′作A′M⊥PG，垂足为M，如图5，
则有A′M=QC=3t，PQ=DC=8-4t，PG=AA′=8t，QG=PG-PQ=12t-8，QF=9t-6．
∴S=S△A′PG-S△GQF
=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
=-42t2+72t-24．
③当1＜t＜2时，如图6，
∵PQ∥AC，PA=PA′
∴∠BPQ=∠PAA′，∠QPA′=∠PA′A，∠PAA′=∠PA′A．
∴∠BPQ=∠QPA′．
∵∠PQB=∠PQS=90°，
∴∠PBQ=∠PSQ．
∴PB=PS．
∴BQ=SQ．
∴SQ=6-3t．
∴S=S△PQS=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
综上所述：当0＜t≤
| 2 |
| 3 |
当
| 2 |
| 3 |
当1＜t＜2时，S=6t2-24t+24．
（4）①若S△A′PG：S四边形PBEG=1：3，
过点A′作A′M⊥PG，垂足为M，过点A′作A′T⊥PB，垂足为T，如图7，
则有A′M=PD=QC=3t，PG=AA′=8t．
∴S△A′PG=
| 1 |
| 2 |
∵S△APA′=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴A′T=
| AA′•PD |
| AP |
| 8t×3t |
| 5t |
| 24 |
| 5 |
∴S?PBEA′=PB•A′T=（10-5t）×
| 24 |
| 5 |
∵S△A′PG：S四边形PBEG=1：3，
∴S△A′PG=
| 1 |
| 4 |
∴12t2=
| 1 |
| 4 |
∵t＞0，
∴t=
| 2 |
| 3 |
②若S△BPN：S四边形PNEA′=1：3，如图8，
同理可得：∠BPQ=∠A′PQ，BQ=6-3t，PQ=8-4t，S?PBEA′=24t（2-t）．
∵四边形PBEA′是平行四边形，
∴BE∥PA′．
∴∠BNP=∠NPA′．
∴∠BPN=∠BNP．
∴BP=BN．
∵∠BQP=∠BQN=90°，
∴PQ=NQ．
∴S△BPN=
| 1 |
| 2 |
=（8-4t）×（6-3t）．
∵S△BPN：S四边形PNEA′=1：3，
∴S△BPN=
| 1 |
| 4 |
∴（8-4t）×（6-3t）=
| 1 |
| 4 |
∵t＜2，
∴t=
| 4 |
| 3 |
综上所述：当射线PQ将?A′PBE分成的两部分图形的面积之比是1：3时，t的值为
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行四边形的性质、解一元一次不等式组、勾股定理等知识，还考查了分类讨论的思想，有一定的综合性．
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