Question

如图，点O为∠APB角平分线上一点，半径为2的⊙O切PA于A点，AP=4．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若连接两切点交OP于点C，△APC沿AC翻折AP的对应线段AQ交⊙O于点E，求AE的长．

Answer 1

考点：切线的判定与性质,翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：（1）根据题意得出△PAO≌△PBO（AAS），进而得出AO=BO，∠PBO=∠PAO=90°，求出即可；
（2）首先利用勾股定理以及三角形面积AC，CO的长，即可得出FQ以及AE的长．

解答：（1）证明：过点O作OB⊥PB，连接AO，
∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，
在△PAO和△PBO中

∠OAP=∠OBP ∠APO=∠BPO PO=PO

，
∴△PAO≌△PBO（AAS），
∴AO=BO，∠PBO=∠PAO=90°，
∴PB是⊙O的切线；

（2）解：∵∠PAO=90°，AO=2，PA=4，
∴PO=2

5

，
∵PA，PB是⊙O的切线，∠APO=∠OPB，
∴PA=PB，PC⊥AB，
∴AC×PO=AO×PA，
∴AC=

2×4

2 5

=

4 5

5

，
∴tan∠APO=

AO

AP

=

1

2

，
∵∠APO=∠Q，
∴CQ=2×AC=

8 5

5

，
∵AO=2，
∴CO=

AO2-AC2

=

2 5

5

，
∴FQ=

8 5

5

-2-

2 5

5

=

6 5

5

-2，
∴NQ=

6 5

5

-2+4=

6 5

5

+2，
∵EQ×AQ=FQ×QN，
∴设AE=x，则4（4-x）=（

6 5

5

-2）×（

6 5

5

+2）
解得：x=

16

5

，
即AE的长为

16

5

．

点评：此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数关系以及切线的判定与性质等知识，熟练利用切割线定理推论得出是解题关键．