Question

已知：三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点，如图，E，F分别是AB，AC上的点，且BE=AF，求证：△DEF为等腰直角三角形．

Answer 1

证明：连接AD，
∵AB=AC，∠A=90°，D为BC中点，
∴AD==BD=CD，
且AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=45°，
在△BDE和△ADF中，
∴△BDE≌△ADF，
∴DE=DF，∠BDE=∠ADF，
∵∠BDE+∠ADE=90°，
∴∠ADF+∠ADE=90°，
即：∠EDF=90°，
∴△EDF为等腰直角三角形．
分析：先连接AD，构造全等三角形：△BED和△AFD．AD是等腰直角三角形ABC底边上的中线，所以有∠CAD=∠BAD=45°，AD=BD=CD，而∠B=∠C=45°，所以∠B=∠DAF，再加上BE=AF，AD=BD，可证出：△BED≌△AFD，从而得出DE=DF，∠BDE=∠ADF，从而得出∠EDF=90°，即△DEF是等腰直角三角形．
点评：此题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，关键是画出辅助线AD，再证出△BDE≌△ADF和∠EDF=90°．