题目内容
（2012•德化县模拟）如图，已知直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=2，过点C作CA1⊥AB，垂足为A1，再过A1作A1C1⊥BC，垂足为C1；过C1作C1A2⊥AB，垂足为A2，再过A2作A2C2⊥BC，垂足为C2；…，这样一直做下去，得到了一组线段CA1，A1C1，C1A2，…，则第1条线段A1C=2
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| 5 |
2
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| 5 |
（
）2n
2
| ||
| 5 |
（
）2n
．2
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| 5 |
分析：先根据勾股定理计算出AB=
，易证得Rt△CAB∽Rt△A1AC，利用相似比计算出A1C=
；再利用Rt△CAB∽Rt△C1CA1，计算出A1C1=（
）2，
同理可得A2C2=（
）4，A3C2=（
）5，A3C3=（
）6，由此可得到AnCn=（
）2n．
| 5 |
2
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| 5 |
2
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| 5 |
同理可得A2C2=（
2
| ||
| 5 |
2
| ||
| 5 |
2
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| 5 |
2
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| 5 |
解答：解：∵∠ACB=90°，AC=1，BC=2，
∴AB=
=
，
∵CA1⊥AB，
∴∠CA1A=90°，
而∠CAB=∠A1AC，
∴Rt△CAB∽Rt△A1AC，
∴
=
，
∴A1C=
，
同理可证明Rt△CAB∽Rt△C1CA1，
∴
=
，即
=
，
∴A1C1=（
）2，
同理可得A2C1=（
）3，
A2C2=（
）4，
A3C2=（
）5，
A3C3=（
）6，
∴AnCn=（
）2n．
故答案为
，（
）2n．
∴AB=
| BC2+AC2 |
| 5 |
∵CA1⊥AB，
∴∠CA1A=90°，
而∠CAB=∠A1AC，
∴Rt△CAB∽Rt△A1AC，
∴
| 2 |
| A1C |
| ||
| 1 |
∴A1C=
2
| ||
| 5 |
同理可证明Rt△CAB∽Rt△C1CA1，
∴
| BC |
| A1C1 |
| AB |
| A1C |
| 2 |
| A1C1 |
| ||||
|
∴A1C1=（
2
| ||
| 5 |
同理可得A2C1=（
2
| ||
| 5 |
A2C2=（
2
| ||
| 5 |
A3C2=（
2
| ||
| 5 |
A3C3=（
2
| ||
| 5 |
∴AnCn=（
2
| ||
| 5 |
故答案为
2
| ||
| 5 |
2
| ||
| 5 |
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组角对应相等的两个三角形相似；相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．也考查了勾股定理和规律型问题的解决方法．
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