Question

6．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC=6，点P在线段AD上，满足条件∠BPC=90°的点P有且只有一个，则等腰梯形ABCD的面积是18．

Answer 1

分析 如图，当以BC为直径的⊙O与直线AD相切于点P时，满足条件∠BPC=90°的点P有且只有一个．连接PB、PC、OP、OD、OA延长AO交DC的延长线于E．由△ABO≌△ECO，推出S_△ABO=S_△EOC，OA=OE，推出S_梯形ABCD=S_△ADE=2S_△AOD即可解决问题．

解答 解：如图，当以BC为直径的⊙O与直线AD相切于点P时，满足条件∠BPC=90°的点P有且只有一个．连接PB、PC、OP、OD、OA延长AO交DC的延长线于E．

∵OP⊥AD，OP=OB=OC=3，
∴S_△AOD=$\frac{1}{2}$•AD•OP=$\frac{1}{2}$×6×3=9，
∵AB∥DE，
∴∠BAO=∠E，
在△ABO和△ECO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAO=∠E}\\{∠AOB=∠EOC}\\{BO=OC}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△ECO，
∴S_△ABO=S_△EOC，OA=OE，
∴S_梯形ABCD=S_△ADE=2S_△AOD=18．
故答案为18．

点评 本题考查梯形的性质、直径所对的圆周角是直角、全等三角形的判定和性质、切线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，确定点P的位置，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．