Question

如图，设C、D是以O为圆心、AB为直径的半圆上的任意两点，过点B作⊙O的切线交直线CD交于P，直线PO与直线CA、AD分别交于点E、F．证明：OE=OF．

Answer 1

考点：四点共圆

专题：证明题

分析：过O作OM⊥CD于M，连结BC、BM、BD、BE，根据垂径定理由OM⊥CD得CM=DM，且∠OMD=90°，根据切线的性质得∠OBP=90°，可判断O、B、P、M四点共圆，根据圆周角定理得∠BMP=∠BOP，而∠BOP=∠AOE，所以∠BMP=∠AOP，根据圆内接四边形的性质得∠MDB=∠EAO，于是可判断△OAE∽△MDB，得到

AE

BD

=

AO

DM

，利用DM=

1

2

CD，OA=

1

2

AB得到

AE

BD

=

AB

CD

，加上∠CDB=∠BAE，根据相似的判定方法得到△BAE∽△CDB，则∠EBA=∠BCD，而根据圆周角定理能得到∠BCD=∠BAD，所以∠EBA=∠BAD，则根据平行线的判定得到AD∥BE，再根据三角形相似的判定方法得到△OBE∽△OAF，利用相似比即可得到OE=OF．

解答：证明：过O作OM⊥CD于M，连结BC、BM、BD、BE，如图，
∵OM⊥CD，
∴CM=DM，∠OMD=90°，
∵PB为⊙O的切线，
∴∠OBP=90°，
∴∠OMP+∠OBP=180°，
∴O、B、P、M四点共圆，
∴∠BMP=∠BOP，
∵∠BOP=∠AOE，
∴∠BMP=∠AOP，
∵∠MDB=∠EAO，
∴△OAE∽△MDB，
∴

AE

BD

=

AO

DM

，
∵DM=

1

2

CD，OA=

1

2

AB，
∴

AE

BD

=

AB

CD

，
而∠CDB=∠BAE，
∴△BAE∽△CDB，
∴∠EBA=∠BCD，
∵∠BCD=∠BAD，
∴∠EBA=∠BAD，
∴AD∥BE，
∴△OBE∽△OAF，
∴

OE

OF

=

OB

OA

，
而OB=OA，
∴OE=OF．

点评：本题考查了四点共圆：若四点连成四边形的对角互补或一个外角等于内对角，那么这四点共圆；圆内接四边形的对角互补，一个外角等于它的内对角；也考查了垂径定理、圆周角定理、切线的性质和相似三角形的判定与性质．