如图.直线y=-x+3与抛物线y=-x2+bx+c交于B.C两点.点B.C分别在x轴.y轴上.点A是抛物线与x轴的另一个交点且在点B的左侧.抛物线的对称轴直线l与x轴交于点D．(1)求抛物线解析式,(2)若直线BC上方的抛物线上有一动点P.是否存在某一位置.使得点P到直线BC的距离最大.如果存在.求出点P的坐标,若不存在.请说明理由．(3)作点A关于直线BC的对称点A'.点E是x轴下方对称轴l上一� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．如图，直线y=-x+3与抛物线y=-x²+bx+c交于B、C两点，点B、C分别在x轴、y轴上，点A是抛物线与x轴的另一个交点且在点B的左侧，抛物线的对称轴直线l与x轴交于点D．
（1）求抛物线解析式；
（2）若直线BC上方的抛物线上有一动点P，是否存在某一位置，使得点P到直线BC的距离最大，如果存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）作点A关于直线BC的对称点A'，点E是x轴下方对称轴l上一点，连接A'E、A'B，若DE=2$\sqrt{2}$-2，求∠AEB的度数．
（4）在（3）的条件下，计算tan∠BA′E的值．

分析（1）先求出点B，C坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先判断出点P到直线BC的距离最大时的位置就是直线MN，直线MN平行于BC且和抛物线只有一个交点就是点P，设出直线MN用一元二次方程的根的判别式求出直线MN解析式中的b，即可求出点P坐标；
（3）先判断出点A和A'的连线与直线BC的交点F也在抛物线对称轴上，即：F（1，2），根据坐标求出线段即可判断出AEF是等腰三角形即可求出∠AEF，利用对称性得出结论；
（4）先借助（3）的结论求出∠BA'E=∠DAE=22.5°，在直角三角形DAE中求出tan∠DAE=$\sqrt{2}$-1即可．

解答解：（1）令x=0，则y=3，∴B（3，0）
令y=0，则x=3，∴C（0，3），
∵点B，C在抛物线上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-9+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3，
（2）存在点P，
理由：如图

作直线MN∥BC，
∵抛物线开口向下，
∴直线MN与抛物线只有一个交点时，点P到直线BC的距离最大，此时的交点就是点P．
设直线MN解析式为y=-x+b①，
∵抛物线的解析式为y=-x²+2x+3②，
联立①②得，x²-3x+b-3=0，
∴△=9-4（b-3）=0，
∴b=$\frac{21}{4}$，
∴直线MN解析式为y=-x+$\frac{21}{4}$，③
联立②③得x=$\frac{3}{2}$，y=$\frac{15}{4}$，
∴P（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）；
（3）由（1）知，B（3，0），C（0，3），
∴OB=OC，
∵∠BOC=90°，
∴∠AOC=∠BCO=45°，
∵抛物线对称轴x=1平行于y轴，
∴∠BFD=BCO=45°，
连接FA，FA'
∵l⊥AB，且平分AB，
∴FA=FD，
∴∠AFD=45°，
∴∠AFB=90°，
∴AF⊥BC
∵A'与A关于BC对称，
∴AA'⊥BC交点就是点F，AF=A'F
∴直线BC解析式为y=-x+3与抛物线对称轴x=1的交点为F（1，2），
∵点E在x轴下方，且DE=2$\sqrt{2}$-2，
∴D（1，2-2$\sqrt{2}$），
∴EF=2$\sqrt{2}$，
∵A（-1，0），F（1，2），
∴AF=2$\sqrt{2}$，
∴EF=AF，
∵∠AFD=45°，
∴∠AEF=$\frac{1}{2}$（180°-∠AFD）=67.5°，
∵点E是线段AB垂直平分线上的点，
∴∠AEB=2∠AEF=135°，
（4）由（3）知，点F是AA'的中点，
∵A（-1，0），F（1，2），
∴A'（3，4），
∵B（3，0），
∴∠A'BA=90°，
∵AE=BE，∠AEB=135°，
∴∠BAE=∠ABE=22.5°，
∴∠EBA'=112.5°
由（3）知，EF=A'F，
∴∠FEA'=∠FA'E，
∵∠AFD=∠FEA'+∠FA'E=45°，
∴∠FEA'=$\frac{1}{2}$∠AFD=22.5°，
由（3）知，∠AEF=67.5°，
∴∠AEA'=∠AEF+∠FEA'=90°，
由（3）知，∠AEB=135°，
∴∠BEA'=∠AEB-∠AEA'=45°，
在△A'BE中，∠EBA'=112.5°，∠BEA'=45°，
∴∠BA'E=22.5°，
∴∠DAE=∠BA'E=22.5°，
在Rt△ADE中，AD=2，DE=2$\sqrt{2}$-2，
∴tan∠DAE=$\frac{DE}{AD}=\frac{2\sqrt{2}-2}{2}=\sqrt{2}-1$，
∴tan∠BA'E=$\sqrt{2}-1$．