Question

3．如果关于x的方程（6-a）（9-a）x²-（117-15a）x+54=0的根都是整数，那么符合条件的整数a的值有几个？

Answer 1

分析 分6-a=0、9-a=0和（6-a）（9-a）≠0三种情况考虑，当a=6或9时求出x的值，以此确定a=6或9是否合适；当（6-a）（9-a）≠0，利用分解因式法找出x₁、x₂的值，根据x₁、x₂以及a均为整数，找出a的值．综上即可得出结论．

解答 解：当6-a=0，即a=6时，原方程为-27x+54=0，
解得：x=2，
∴a=6合适；
当9-a=0，即a=9时，原方程为18x+54=0，
解得：x=-3，
∴a=9合适；
当（6-a）（9-a）≠0，即a≠6且a≠9时，（6-a）（9-a）x²-（117-15a）x+54=[（6-a）x-9][（9-a）x-6]=0，
∴x₁=$\frac{9}{6-a}$，x₂=$\frac{6}{9-a}$，
∵方程的根为整数，a为整数，
∴|6-a|=1、3、9且|9-a|=1、2、3、6，
解得：a=-3、3、5、7、15且a=3、7、8、10、11、12、15，
∴a=3、7、15．
综上：符合条件的整数a的值有5个．

点评 本题考查了因式分解法解方程，分6-a=0、9-a=0和（6-a）（9-a）≠0三种情况考虑是解题的关键．