Question

19．在四边形ABCD中，AC、BD交于点E，且∠ACD=∠ADC．
（1）如图1，若AB=AD，求证：∠BAC=2∠BDC；
（2）如图2，在（1）的条件下，若∠BDC=30°，求证：BC=AC．
（3）如图3，若BC=AD，∠BDC=30°，过A作AH⊥BD于H，过C作CF⊥BD于F，且HF：BH=2：11，DF=9，求BD的长．

Answer 1

分析 （1）如图1，根据AB=AD=AC，作辅助圆A，由∠BAC与∠BDC是$\widehat{BC}$所对的圆心角和圆周角，所以∠BAC=2∠BDC；
（2）根据同弧所对的圆心角是圆周角的二倍可得：△ABC是等边三角形，所以BC=AC；
（3）如图3，作辅助线，根据等腰三角形三线合一得：CE=ED=$\frac{1}{2}$CD，由直角三角形30°角的性质得：CF=$\frac{1}{2}$CD，则CE=CF，利用HL证明Rt△ACE≌Rt△BCF，得∠DCF=∠ACB=60°，则△ABC是等边三角形，
设HF=2x，BH=11x，由BH=HD列方程可得结论．

解答 解：（1）如图1，∵∠ACD=∠ADC，
∴AC=AD，
∵AB=AD，
∴AB=AD=AC，
∴点B，C，D三点在以A为圆心，以AB为半径的圆上，
∵∠BAC与∠BDC是$\widehat{BC}$所对的圆心角和圆周角，
∴∠BAC=2∠BDC；

（2）由（1）证得：∠BAC=2∠BDC，
∵∠BDC=30°，
∴∠BAC=60°，
∵AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC=AC；

（3）如图3，过A作AE⊥CD于E，
∵AC=AD，
∴CE=ED=$\frac{1}{2}$CD，
∵∠BCD=30°，
∴CF=$\frac{1}{2}$CD，
∴CE=CF，
∵BC=AD=AC，∠AEC=∠BFC=90°，
∴Rt△ACE≌Rt△BCF（HL），
∴∠ACE=∠BCF，
∴∠ACE-∠ACF=∠BCF-∠ACF，
即∠DCF=∠ACB=60°，
∵AC=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC=AB，
∴AD=AB，
∵AH⊥BD，
∴BH=HD，
∵HF：BH=2：11，DF=9，
设HF=2x，BH=11x，
由BH=HD得：11x=2x+9，
x=1，
∴BD=11x+2x+9=22．

点评 本题是四边形的综合题，考查了等腰三角形的性质、直角三角形30°角的性质，圆周角定理、三角形性质和判定，利用圆的半径都相等，构建辅助圆，利用同弧所对的圆周角与圆心角的关系解决问题，第3问有难度，构建辅助线，证明Rt△ACE≌Rt△BCF是关键．