Question

1．如图，P为边长为2的正方形ABCD的对角线BD上任一点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF．给出以下4个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③EF最短长度为$\sqrt{2}$；④若∠BAP=30°时，则EF的长度为2．其中结论正确的有（　　）

• A． ①②③
• B． ①②④
• C． ②③④
• D． ①③④

Answer 1

分析 连接PC，可证得△ABP≌△CBP，结合矩形的性质，可证得PA=EF，国判断①；延长AP交BC于点G，可证得AP⊥EF，可判断②；求得AP的最小值即可求得EF的最短长度，可判断③；当点P在点B或点D时，AP有最大值2，则可判断④；可求得答案．

解答 解：
①如图，连接PC，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，
在△ABP和△CBP中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{∠ABP=∠CBP}\\{BP=BP}\end{array}\right.$
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴AP=PC，
∵PE⊥BC，PF⊥CD，且∠FCE=90°，
∴四边形PECF为矩形，
∴PC=EF，
∴AP=EF，故①正确；
②延长AP交BC于点G，
由①可得∠PCE=∠PFE=∠BAP，
∵PE∥AB，
∴∠EPG=∠BAP，
∴∠EPG=∠PFE，
∵∠EPF=90°，
∴∠EPG+∠PEF=∠PEG+∠PFE=90°，
∴AP⊥EF，故②正确；
③当AP⊥BD时，AP有最小值$\sqrt{2}$，此时P为BD的中点，
由①可知EF=AP，
∴EF的最短长度为$\sqrt{2}$，故③正确；
④当点P在点B或点D位置时，AP=AB=2，
∴EF=AP≤2，
∴当∠BAP=30°时，AP＜2，
即EF的长度不可能为2，故④不正确；
综上可知正确的结论为①②③，
故选A．

点评 本题主要考查正方形的性质及全等三角形的性质，构造三角形全等证得AP=EF是解题的关键．