Question

16．如图1，以边长为4的正方形纸片ABCD的边AB为直径作⊙O，交对角线AC于点E．
（1）图1中，线段AE=2$\sqrt{2}$；
（2）如图2，在图1的基础上，以点A为端点作∠DAM=30°，交CD于点M，沿AM将四边形ABCM剪掉，使Rt△ADM绕点A逆时针旋转（如图3），设旋转角为α（0°＜α＜150°），在旋转过程中AD与⊙O交于点F．
①当α=30°时，请求出线段AF的长；
②当α=60°时，求出线段AF的长；判断此时DM与⊙O的位置关系，并说明理由；
③当α=90°时，DM与⊙O相切．

Answer 1

分析 （1）连接BE，由正方形的性质得出∠BAD=∠BAC=45°，由圆周角定理得出∠AEB=90°，证出△ABE是等腰直角三角形，由勾股定理得出AE=BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=2$\sqrt{2}$；（2）①连接OA、OF，则OA=OF=2，证出∠OAF=90°-30°=60°，得出△OAF是等边三角形，即可得出AF=OA=2；
②证出∠NAM=90°，即AM⊥AN，得出AM过点O，设AM交⊙O于G，连接FG，过点O作OH⊥DM于H，由三角函数求出AF=AGcos∠DAM=2$\sqrt{3}$，在Rt△ADM中，求出AM=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，得出OM=AM-OA=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$-2，在Rt△OHM中，由三角函数求出OH=4-$\sqrt{3}$，得出OH-OA=2-$\sqrt{3}$＞0，得出OH＞OA，即可证出DM与⊙O相离；
③当α=90°时，AD⊥AN，AD过圆心O，即可得出结论．

解答 解：（1）连接BE，如图1所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠BAC=45°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE=BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=2$\sqrt{2}$；
故答案为：2$\sqrt{2}$；

（2）①连接OA、OF，如图3所示：
则OA=OF=2，
∵α=30°，
∴∠OAF=90°-30°=60°，
∴△OAF是等边三角形，
∴AF=OA=2；
②∵α=60°，∠DAN=30°，
∴∠NAM=90°，即AM⊥AN，
∴AM过点O，
设AM交⊙O于G，连接FG，过点O作OH⊥DM于H，如图4所示：
∴∠AFG=90°，∠OHM=90°，
∵AG=4，
∴AF=AGcos∠DAM=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$；
DM与⊙O相离，理由如下：
在Rt△ADM中，AM=$\frac{AD}{cos30°}$=$\frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
∴OM=AM-OA=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$-2，
在Rt△OHM中，OH=OM•sin∠OMH=（$\frac{8\sqrt{3}}{3}$-2）×sin60°=4-$\sqrt{3}$，
∵OH-OA=4-$\sqrt{3}$-2=2-$\sqrt{3}$＞0，
∴OH＞OA，
∴DM与⊙O相离；
③当α=90°时，DM与⊙O相切．理由如下：
当α=90°时，AD⊥AN，AD过圆心O，
∵AD⊥DM，
∴DM与⊙O相切；
故答案为：90．

点评 本题是圆的综合题目，考查了正方形的性质、圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质、三角函数、直线与圆的位置关系、切线的判定等知识；本题综合性强，有一定难度．