Question

如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=4，AD=3

3

，AF=2

3

，求AE的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,勾股定理,平行四边形的性质

专题：

分析：（1）△ADF和△DEC中，易知∠ADF=∠CED（平行线的内错角），而∠AFD和∠C是等角的补角，由此可判定两个三角形相似；
（2）由（1）知△ADF∽△DEC，根据相似三角形的性质：对应边的比值相等即可求出DE的长，再利用勾股定理即可求出AE的长．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠B+∠C=180°，∠ADF=∠DEC．
∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B
∴∠AFD=∠C
∴△ADF∽△DEC；

（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=4，
由（1）知△ADF∽△DEC，
∴

AD

DE

=

AF

CD

，
∴DE=

AD•CD

AF

=

3 3 ×4

2 3

=6．
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE=

DE2-AD2

=

62-(3 3 )2

=3．

点评：此题主要考查的是平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，解题的关键是熟记判定三角形相似的各种方法和各种性质．