Question

2．如图所示，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，G为边BC上与点B，D，C不重合的任意一点，GH⊥AB于H，GM⊥AC于M；求证：GH+GM=DE+DF．

Answer 1

分析 连接AD、AG，利用三角形的面积可得S_△ABC=S_△ADB+S_△ACD=$\frac{1}{2}$AB•DE+$\frac{1}{2}$AC•DF，S_△ABC=S_△ABG+S_△ACG=$\frac{1}{2}$AB•HG+$\frac{1}{2}$AC•GM，进而可得$\frac{1}{2}$AB•DE+$\frac{1}{2}$AC•DF=$\frac{1}{2}$AB•HG+$\frac{1}{2}$AC•GM，再由AB=AC可得结论．

解答 证明：连接AD、AG，
∵S_△ABC=S_△ADB+S_△ACD=$\frac{1}{2}$AB•DE+$\frac{1}{2}$AC•DF，
S_△ABC=S_△ABG+S_△ACG=$\frac{1}{2}$AB•HG+$\frac{1}{2}$AC•GM，
∴$\frac{1}{2}$AB•DE+$\frac{1}{2}$AC•DF=$\frac{1}{2}$AB•HG+$\frac{1}{2}$AC•GM，
∵AB=AC，
∴GH+GM=DE+DF．

点评 此题主要考查了等腰三角形的性质，以及三角形的面积，关键是正确运用不同的方法表示△ABC的面积．