Question

16．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．
（1）如图1，当点P是线段上异于A、B的任一点，求证：AP²+BP²=2PC²；
（提示：可将三角形BPC绕点C顺时针方向旋转90°，得到三角形ADC，连接PD…）
（2）如图2，当P是△ABC内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．

Answer 1

分析 （1）将三角形BPC绕点C顺时针方向旋转90°，得到三角形ADC，连接PD，得出AD=PB，CD=CP，∠DAC=∠CBP，∠DCA=∠BCP，得出△DAP和△CDP是直角三角形，利用勾股定理得出答案即可；
（2）根据旋转的性质得到CP=CD=2，∠DCP=90°，DB=PA=3，则△CPD为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得PD=$\sqrt{2}$PC=2$\sqrt{2}$，∠CPD=45°，在△PDB中，PB=1，PD=$\sqrt{2}$，DB=3，易得PB²+PD²=BD²，根据勾股定理的逆定理得到△PBD为直角三角形，即可得到∠BPC的度数

解答 （1）证明：将三角形BPC绕点C顺时针方向旋转90°，得到△ADC，
因此AD=PB，CD=CP，∠DAC=∠CBP，∠DCA=∠BCP，
∵∠ACB=90°，
∴∠DCP=90°，∠DAP=90°，
∴△DAP和△CDP是直角三角形，
∴AP²+AD²=PD²；CP²+CD²=PD²；
∴AP²+BP²=2PC²；
（2）解：如图，

把△ACP绕点C逆时针旋转90°得到△BCD，连接DP，
∵△ACP绕点C逆时针旋转90°得到△BCD，
∴CP=CD=2，∠DCP=90°，DB=PA=3，
∴△CPD为等腰直角三角形，
∴PD=$\sqrt{2}$PC=2$\sqrt{2}$，∠CPD=45°，
在△PDB中，PB=1，PD=2$\sqrt{2}$，DB=3，
而1²+（2$\sqrt{2}$）²=3²，
∴PB²+PD²=BD²，
∴△PBD为直角三角形，
∴∠DPB=90°，
∴∠BPC=45°+90°=135°．

点评 本题考查了旋转的性质：旋转前后两个图形全等，即对应角相等，对应线段相等；也考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理以及逆定理的运用．