题目内容
15．
为了方便行人，市政府打算修建如图所示的过街天桥，桥面AD平行于地面BC，立柱AE⊥BC于点E，立柱DF⊥BC于点F，若AB=5$\sqrt{5}$米，tanB=$\frac{1}{2}$，∠C=30°．（1）求桥面AD与地面BC之间的距离．
（2）因受地形限制，决定对该天桥进行改建，使CD斜面的坡度变陡，将其30°坡角改为40°，改建后斜面为DG，试计算此次改建节省路面宽度CG大约应是多少？（结果精确到0.1米，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，$\sqrt{3}$≈1.732）
分析 （1）在Rt△ABE中，根据tanB=$\frac{AE}{BE}$得到AB=$\sqrt{{AE}^{2}+{BE}^{2}}$，从而有$\sqrt{5}$x=5$\sqrt{5}$，据此即可求出AE的长；
（2）判断出四边形AEFD是矩形，在Rt△DCF中，利用三角函数解答．
解答 解：（1）如图，在Rt△ABE中，tanB=$\frac{AE}{BE}$=$\frac{1}{2}$，
∴设AE=x，BE=2x，
则AB=$\sqrt{{AE}^{2}+{BE}^{2}}$，
$\sqrt{5}$x=5$\sqrt{5}$，
解得x=5，
∴AE=5米，即桥面AD与地面BC之间的距离为5米．
（2）如图，∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF，∠AEF=90°，
∵AD∥BC，
∴四边形AEFD是矩形，
∴DF=AE=5米，
在Rt△DCF中，∠C=30°，DF=5米，
∴GF=$\frac{DF}{tan40°}$≈5.95米，
∵DF=AE=5，∠DCF=30°，
∴CF=$\frac{DF}{tan30°}$=$\frac{5}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$≈8.66米，
∴改建节省所占路面的宽度为CG=CF-GF=8.66-5.95≈2.7米．
点评 本题考查了解直角三角形的应用--坡度坡角问题，找到合适的直角三角形是解题的关键．
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20．
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菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC=45°，点A的坐标为（$\sqrt{2}$，0），则点B的坐标为（ ）| A． | （$\sqrt{2}$，1） | B． | （1，$\sqrt{2}$） | C． | （1，$\sqrt{2}$+1） | D． | （$\sqrt{2}$+1，1） |