Question

1．如图，反比例函数y=$\frac{k}{2x}$和一次函数y=2x-1，其中一次函数的图象经过（a，b），（a+k，b+k+2）两点且点A在第一象限，是两个函数的一个交点；
（1）求反比例函数的解析式？
（2）在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）列出关于a、b、k方程组，解方程组可以求出k的值．
（2）先求出点A坐标，再分三种情形：①当点O为等腰三角形△AOP的顶点，②当点A为等腰三角形△AOP的顶点，③当点P为等腰三角形△AOP的顶点，分别求出点P坐标即可．

解答 解：（1）∵一次函数y=2x-1经过（a，b），（a+k，b+k+2）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=2a-1}\\{b+k+2=2（a+k）-1}\end{array}\right.$，
解得k=2，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{1}{x}$．
（2）存在．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{x}}\\{y=2x-1}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
∴点A坐标（1，1）．
∴OA=$\sqrt{2}$，
①当点O为等腰三角形△AOP的顶点时，点P坐标为（-$\sqrt{2}$，0）或（$\sqrt{2}$，0）．
②当点A为等腰三角形△AOP的顶点时，点P坐标为（2，0）．
③当点P为等腰三角形△AOP的顶点时，点P坐标为（1，0）．
∴△AOP为等腰三角形，点P坐标为（1，0）或（2，0）和（-$\sqrt{2}$，0）或（$\sqrt{2}$，0）．

点评 本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是利用方程组解决问题，体现了数形结合的思想，学会分类讨论的方法，注意不能漏解，属于中考常考题型．