Question

9．如图，已知点P是抛物线y=x²上的动点（点P在第一象限内），连结OP，过点O作OP的垂线交抛物线于另一点Q，当点P的横坐标是2时，点Q的坐标是（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$）．

Answer 1

分析 过点P作PA⊥x轴于A，作QB⊥x轴于B，根据点P的横坐标求出OA、PA，设点Q的横坐标为x，表示出点Q的纵坐标，再根据△AOP和△BQO相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．

解答 解：作PA⊥x轴于A，作QB⊥x轴于B，
∵点P的横坐标为2，
∴y=2²=4，
∴OA=2，PA=4，
∵OP⊥OQ，
∴∠BOQ+∠AOP=90°，
∵∠BQO+∠BOQ=90°，
∴∠BQO=∠AOP，
∵∠OBQ=∠PAO=90°，
∴△AOP∽△BQO，
∴$\frac{OB}{PA}$=$\frac{BQ}{OA}$，
即$\frac{OB}{4}$=$\frac{BQ}{2}$，
∴OB=2BQ，
设点Q的横坐标为x，则点Q的纵坐标为y=x²，
∴-x=2x²
解得x=-$\frac{1}{2}$，
∴Q（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$）．
故答案为：（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$）．

点评 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，作辅助线构造出相似三角形是解题的关键．