Question

10．如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别是射线BC和CD延长线上的动点，且BE=DF，连接EF与射线BD交于点G，连接AG、CG．
（1）求证：EG=FG；
（2）当△GCE为等边三角形时，求四边形AFDG的面积．

Answer 1

分析 （1）作EH⊥BC交BD于H，由正方形的性质得出AB∥CF，∠BCD=90°，∠EBH=45°，AB⊥BC，证出△BEH是等腰直角三角形，得出BE=EH，证出EH=DF，由平行线的性质得出∠HEG=∠DFG，由AAS证明△GHE≌△GFD，得出对应边相等即可；
（2）过G作CD的平行线，交AD于M，BC于N，由等边三角形的性质得出CN=EN，设CN=EN=x，则CG=CE=2x，GN=$\sqrt{3}$x，作GO⊥CD于O，则GM=GO=CN=x，MN=CD=4得出方程，解方程求出x=2$\sqrt{3}$-2，得出DF=BE=BC-CE=8-4$\sqrt{3}$，四边形AFDG的面积=△ADF的面积+△ADG的面积，即可得出结果．

解答 （1）证明：作EH⊥BC交BD于H，如图1所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CF，∠BCD=90°，∠EBH=45°，AB⊥BC，
∴△BEH是等腰直角三角形，
∴BE=EH，
∵BE=DF，
∴EH=DF，
∵EH⊥BC，AB∥CF，
∴EH∥CF，
∴∠HEG=∠DFG，
在△GEH和△GFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠HEG=∠DFG}&{\;}\\{∠EGH=∠FGD}&{\;}\\{EH=DF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△GHE≌△GFD（AAS），
∴EG=FG；
（2）解：过G作CD的平行线，交AD于M，BC于N，如图2所示：
∵△GCE为等边三角形，
∴CN=EN，
设CN=EN=x，则CG=CE=2x，GN=$\sqrt{3}$x，
作GO⊥CD于O，则GM=GO=CN=x，
∵MN=CD=4，
∴x+$\sqrt{3}$x=3，
解得：x=2$\sqrt{3}$-2，
∵DF=BE=BC-CE=4-2x=4-2（2$\sqrt{3}$-2）=8-4$\sqrt{3}$，
∴四边形AFDG的面积=△ADF的面积+△ADG的面积=$\frac{1}{2}$AD（DF+GM）=$\frac{1}{2}$×4（8-4$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$-2）=12-4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的性质等知识；熟练掌握正方形和等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．