Question

17．如图：E、F分别是?ABCD的对边AD、BC的中点，AF、BE交于点G，EC与DF交于H．
（1）求证：GH与EH互相平分；
（2）若AD=2AB，求证：四边形EGFH为矩形．

Answer 1

分析 （1）由条件可证明四边形ABFE和四边形CDEF为平行四边形，可知G、H、O分别为BE、CE、EF的中点，又可得GO=OH，可证得结论；
（2）首先得出平行四边形ABFE是菱形，进而得出AF⊥BE，则四边形EGFH为矩形．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵E、F分别是AD、BC的中点，
∴AE=BF，
∴四边形ABFE为平行四边形，
同理四边形CDEF为平行四边形，
∴G、H分别为BE、CF的中点，
∴GH∥BC，
∴O为EF中点，即OE=OF，
∴GO=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{1}{2}$FC=OH，
即EF和GH互相平分；

（2）∵EF和GH互相平分，
∴四边形EGFH为平行四边形，
∵AD=2AB，E、F分别是AD、BC的中点，
∴AE=BF=AB，
∵AE$\stackrel{∥}{=}$BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
又∵AE=AB，
∴平行四边形ABFE是菱形，
∴AF⊥BE，
∴∠EGF=90°，
∴四边形EGFH为矩形．

点评 本题主要考查平行四边形的判定和性质以及菱形的判定与性质和矩形的判定等知识，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键，即①两组对边分别平行的四边形?平行四边形，②两组对边分别相等的四边形?平行四边形，③一组对边平行且相等的四边形?平行四边形，④两组对角分别相等的四边形?平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形?平行四边形．