Question

14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D以每秒1个单位长度的速度由点A向点B匀速运动，到达点B处停止运动，M，N分别是AD，CD的中点，连接MN，设点D运动的时间为ts．
（1）MN与AC的数量关系是MN=$\frac{1}{2}$AC；
（2）求点D由点A向点B匀速运动的过程中，线段MN所扫过区域的面积；
（3）当t为何值时，△DMN是等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）直接利用三角形中位线证明即可；
（2）分别取△ABC三边AC，AB，BC的中点E，F，G，并连接EG，FG，根据题意可得线段MN扫过区域的面积就是?AFGE的面积求解即可；
（3）分三种情况：①当MD=MN=3时，②当MD=DN，③当DN=MN时，分别求解△DMN为等腰三角形即可．

解答 解：（1）∵在△ADC中，M是AD的中点，N是DC的中点，
∴MN=$\frac{1}{2}$AC；
故答案为：MN=$\frac{1}{2}$AC；

（2）如图1，分别取△ABC三边AC，AB，BC的中点E，F，G，并连接EG，FG，
根据题意可得线段MN扫过区域的面积就是?AFGE的面积，
∵AC=6，BC=8，
∴AE=3，GC=4，
∵∠ACB=90°，
∴S_{四边形AFGE}=AE•GC=3×4=12，
∴线段MN所扫过区域的面积为12．

（3）据题意可知：MD=$\frac{1}{2}$AD，DN=$\frac{1}{2}$DC，MN=$\frac{1}{2}$AC=3，
①当MD=MN=3时，△DMN为等腰三角形，此时AD=AC=6，
∴t=6，
②当MD=DN时，AD=DC，如图2，过点D作DH⊥AC交AC于H，则AH=$\frac{1}{2}$AC=3，
∵cosA=$\frac{AH}{AD}$=$\frac{AC}{AB}$，
∴$\frac{3}{AD}$=$\frac{6}{10}$，解得AD=5，
∴AD=t=5．
③如图3，当DN=MN=3时，AC=DC，连接MC，则CM⊥AD，
∵cosA=$\frac{AM}{AC}$=$\frac{AC}{AB}$，即$\frac{AM}{6}$=$\frac{6}{10}$，
∴AM=$\frac{18}{5}$，
∴AD=t=2AM=$\frac{36}{5}$，
综上所述，当t=5或6或$\frac{36}{5}$时，△DMN为等腰三角形．

点评 此题属于三角形的综合题．考查了等腰三角形的性质，平行四边形的面积、三角形中位线以及锐角三角函数的知识．注意掌握辅助线的作法、掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．