Question

4．如图，菱形ABCD的对角线BD、AC的长分别为2，2$\sqrt{3}$，以点B为圆心的弧与AD、DC相切，则图中阴影部分的面积是2$\sqrt{3}$-π．

Answer 1

分析 连接AC、BD、BE，在Rt△AOB中可得∠BAO=30°，∠ABO=60°，在Rt△ABE中求出BE，得出扇形半径，由菱形面积减去扇形面积即可得出阴影部分的面积．

解答 解：连接AC、BD、BE，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AC与BD互相垂直且平分，
∴AO=$\sqrt{3}$，BO=1，
∵tan∠BAO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，tan∠ABO=$\sqrt{3}$，
∴∠BAO=30°，∠ABO=60°，
∴AB=2，∠BAE=60°，
∵以B为圆心的弧与AD相切，
∴∠AEB=90°，
在Rt△ABE中，AB=2，∠BAE=60°，
∴BE=ABsin60°=$\sqrt{3}$，
∴S_菱形-S_扇形=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$-$\frac{120π×（\sqrt{3}）^{2}}{360}$=2$\sqrt{3}$-π．
故答案为：2$\sqrt{3}$-π．

点评 本题考查了扇形的面积计算、菱形的性质及切线的性质，解答本题的关键是根据菱形的性质求出各角度及扇形的半径．