Question

12．己知常数a（a是常数）满足下面两个条件：
①二次函数y₁=-$\frac{1}{3}$（x+4）（x-5a-7）的图象与x轴的两个交点于坐标原点的两侧；
②一次函数y₂=ax+2的图象在一、二、四象限；
（1）求整数a的值；
（2）在所给直角坐标系中分别画出y₁、y₂的图象，并求当y₁＜y₂时，自变量x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用抛物线与x轴的交点问题得到抛物线与x轴的两个交点坐标为（-4，0），（5a+7，0），利用抛物线与x轴的两个交点与坐标原点的两侧得到5a+7＞0，则a＞-$\frac{7}{5}$，再利用一次函数性质得到a＜0，于是得到a的范围为-$\frac{7}{5}$＜a＜0，然后在此范围内找出整数即可；
（2）由（1）得抛物线解析式为y₁=-$\frac{1}{3}$（x+4）（x-2）=-$\frac{1}{3}$（x+1）²+3，直线解析式为y=-x+2，再利用描点法画出两函数图象，然后找出一次函数图象在抛物线上方所对应的x的范围即可．

解答 解：（1）抛物线y₁=-$\frac{1}{3}$（x+4）（x-5a-7）的图象与x轴的两个交点坐标为（-4，0），（5a+7，0），
根据题意得5a+7＞0，解得a＞-$\frac{7}{5}$，
又因为一次函数y₂=ax+2的图象在一、二、四象限，则a＜0，
所以a的范围为-$\frac{7}{5}$＜a＜0，
所以整数a为-1；
（2）抛物线解析式为y₁=-$\frac{1}{3}$（x+4）（x-2）=-$\frac{1}{3}$（x+1）²+3，抛物线的顶点坐标为（-1，3），
直线解析式为y=-x+2，
如图，

当x＜-1或x＞2时，y₁＜y₂．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：从二次函数的交点式y=a（x-x₁）（x-x₂）（a，b，c是常数，a≠0）中可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x₁，0），（x₂，0）．也考查了一次函数的性质和观察函数图象的能力．