Question

15．如图，一次函数y=kx+1的图象与反比例函数y=$\frac{m}{x}$（x＞0）的图象交于点P，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，一次函数的图象分别交x轴，y轴于点C，点D．且
OA=OB，$\frac{OC}{CA}$=$\frac{1}{2}$，则m=-4，$\frac{{S}_{△APC}}{{S}_{△DPB}}$=$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 由一次函数y=kx+1的图象交y轴于点D，得出点D的坐标为（0，1）；设OC=a，根据$\frac{OC}{CA}$=$\frac{1}{2}$得到CA=2OC=2a，那么OA=3a=OB，P（3a，-3a）．根据△DOC∽△DBP，利用相似三角形对应边成比例得出$\frac{1}{1+3a}$=$\frac{a}{3a}$=$\frac{1}{3}$，求出a=$\frac{2}{3}$，那么P（2，-2），再根据待定系数法求出m=2×（-2）=-4；根据相似三角形面积之比等于相似比的平方得出$\frac{{S}_{△APC}}{{S}_{△DPB}}$=（$\frac{AP}{DB}$）²=$\frac{4}{9}$．

解答 解：∵一次函数y=kx+1的图象交y轴于点D，
令x=0，得y=1，
∴点D的坐标为（0，1）；
设OC=a，则CA=2OC=2a，OA=3a=OB，P（3a，-3a）．
∵OC∥BP，
∴△DOC∽△DBP，
∴$\frac{DO}{DB}$=$\frac{OC}{BP}$，即$\frac{1}{1+3a}$=$\frac{a}{3a}$=$\frac{1}{3}$，
∴a=$\frac{2}{3}$，
∴P（2，-2）．
∵反比例函数y=$\frac{m}{x}$（x＞0）的图象过点P，
∴m=2×（-2）=-4；
$\frac{{S}_{△APC}}{{S}_{△DPB}}$=（$\frac{AP}{DB}$）²=（$\frac{2}{3}$）²=$\frac{4}{9}$．
故答案为-4；$\frac{4}{9}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数解析式的确定，相似三角形的判定与性质，图形的面积求法等知识，求出点P的坐标是解题的关键．