Question

如图，已知抛物线y=ax²+4ax+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上．
（1）求出抛物线的对称轴；
（2）若线段OB、OC的长（OB＜OC）是方程x²-10x+16=0的两个根，求此抛物线的解析式；
（3）在（2）的基础上，连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，问S是否存在最大值？若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据对称轴x=-

b

2a

即可求得．
（2）解方程x²-10x+16=0得出OC、OB的值，从而得出C、B的坐标，代入y=ax²+4ax+c，得到二元一次方程，解方程即可求得a、c，进而得到抛物线的解析式；
（3）根据抛物线的解析式求得与x轴的交点坐标，进而得到AB、OC、OA的长，因为EF∥AC得出△BEF∽△BAC，得出

FG

OC

=

BE

BA

，得出FG=8-m，然后根据S_△CEF=S_△CEB-S_△FEB得出S关于m的函数关系式，把函数的解析式转化为顶点式即可求得．

解答：解：（1）∵y=ax²+4ax+c
∴x=-

4a

2a

=-2
∴抛物线的对称轴是直线x=-2；

（2）解方程x²-10x+16=0得x₁=2，x₂=8
∵OB、OC是方程的两个根，且OB＜OC
∴B（2，0），C（0，8），
∵抛物线y=ax²+bx+c经过B、C两点
∴

0=4a+8a+c 8=c

解得：

a=- 2 3 c=8

∴所求抛物线的表达式为：y=-

2

3

x2-

8

3

x+8；

（3）∵抛物线y=-

2

3

x2-

8

3

x+8与X轴交于A、B两点，点C（0，8）
∴A（-6，0），B（2，0）
∴AB=8，OC=8，OA=6，
过点F作FG⊥BE于G
∵AE=m
∴BE=AB-AE=8-m．
∵EF∥AC
∴△BEF∽△BAC，
∴

FG

OC

=

BE

BA

，即

FG

8

=

8-m

8

，
∴FG=8-m，
∴S_△CEF=S_△CEB-S_△FEB
=

1

2

×（8-m）×8-

1

2

×(8-m)(8-m)
=-

1

2

m²+4m
=-

1

2

（m-4）²+8，（0＜m＜8），
即：S=-

1

2

(m-4)2+8，
当m=4时，S有最大值，
S的最大值是8；
∴OE=OA-m=6-m=2，
∴点E的坐标为（-2，0）．

点评：本题考查了抛物线的对称轴的求法，一元二次方程与抛物线的关系，三角形相似的判定和性质；把不规则的多边形转化成规则的三角形求三角形的面积是本题的关键．