Question

如图，在△ABC中，分别以AB、AC为边，向△ABC外作正三角形、正四边形、正五边形，BE、CD相交于点O．
①如图甲，求证：△ABE≌△ADC；
②探究：如图甲，∠BOC的度数为

 

；如图乙，∠BOC的度数为

 

；如图丙，∠BOC的度数为

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：①根据等边三角形的性质可以得出△DAC≌△BAE；
②根据三角形的外角与内角的关系就可以求出∠BOC的值，在图乙中，连结BD，然后用同样的方法证明△DAC≌△BAE，根据三角形外角与内角之间的关系就可以求出∠BOC的值，依此类推就可以得出当作五边形的时候就可以求出图丙∠BOC的值．

解答：①证明：如图甲，

∵△ABD和△AEC是等边三角，
∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=∠ABD=∠ADB=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
即∠DAC=∠BAE．
在△DAC和△BAE中，

DA=BA ∠DAC=∠BAE AC=AE

，
∴△DAC≌△BAE（SAS）．

②解：∵△DAC≌△BAE，
∴∠CDA=∠EBA．
∵∠BOC=∠BDO+∠OBD，
∴∠BOC=∠BDA+∠ABE+∠OBD，
∴∠BOC=∠BDA+∠ADC+∠OBA，
∴∠BOC=∠BDA+∠OBD=60°+60°=120°．
如图乙，连结BD，

∵四边形ABFD和四边形ACGE是正方形，
∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=90°，∠BDA=∠DBA=45°，
∴∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE，
即∠BAE=∠CAD．
在△DAC和△BAE中，

DA=BA ∠DAC=∠BAE AC=AE

，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴∠CDA=∠EBA．
∵∠BOC=∠BDO+∠DBO，
∴∠BOC=∠BDA+∠ADO+∠DBO，
∴∠BOC=∠BDA+∠ABE+∠DBO，
∴∠BOC=∠BDA+∠DBA=45°+45°=90°；
如图丙，连结BD，

∵五边形ABHFD和五边形ACIGO是正五边形，
∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠EAC=108°，
∴∠BAD+∠DAE=∠EAC+∠DAE，∠ABD=∠ADB=36°
∴∠BAE=∠DAC
在△BAE和△DAC中，

DA=BA ∠DAC=∠BAE AC=AE

，
∴△BAE≌△DAC（SAS），
∴∠ABE=∠ADC．
∵∠BOC=∠OBD+∠BDO，
∴∠BOC=∠ADB+∠ADC+∠OBD，
∴∠BOC=∠ADB+∠ABE+∠OBD，
∴∠BOC=∠ADB+∠ABD=72°．
故答案为：120°；90° 72°．

点评：本题考查了等边三角形的性质的运用，正方形的性质的运用，正五边形的性质的运用及正n边形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时根据正多边形的性质证明三角形全等是关键．