题目内容
阅读资料：小明是一个爱动脑筋的好学生，他在学习了有关圆的切线性质后，意犹未尽，又查阅到了与圆的切线相关的一个问题：
如图1，已知PC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，延长BA交切线PC与P，连接AC、BC、OC．
因为PC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，所以∠OCP=∠ACB=90°，所以∠1=∠2．
又因为∠B=∠1，所以∠B=∠2．
在△PAC与△PCB中，又因为：∠P=∠P，所以△PAC∽△PCB，所以
=
，即PC2=PA•PB．
问题拓展：
（Ⅰ）如果PB不经过⊙O的圆心O（如图2）等式PC2=PA•PB，还成立吗？请证明你的结论；
综合应用：
（Ⅱ）如图3，⊙O是△ABC的外接圆，PC是⊙O的切线，C是切点，BA的延长线交PC于点P；
（1）当AB=PA，且PC=12时，求PA的值；
（2）D是BC的中点，PD交AC于点E．求证：
=
．
如图1，已知PC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，延长BA交切线PC与P，连接AC、BC、OC．
因为PC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，所以∠OCP=∠ACB=90°，所以∠1=∠2．
又因为∠B=∠1，所以∠B=∠2．
在△PAC与△PCB中，又因为：∠P=∠P，所以△PAC∽△PCB，所以
| PA |
| PC |
| PC |
| PB |
问题拓展：
（Ⅰ）如果PB不经过⊙O的圆心O（如图2）等式PC2=PA•PB，还成立吗？请证明你的结论；
综合应用：
（Ⅱ）如图3，⊙O是△ABC的外接圆，PC是⊙O的切线，C是切点，BA的延长线交PC于点P；
（1）当AB=PA，且PC=12时，求PA的值；
（2）D是BC的中点，PD交AC于点E．求证：
| PC2 |
| PA2 |
| CE |
| AE |
考点：圆的综合题,圆周角定理,切线的性质,相似三角形的性质
专题：压轴题,阅读型,数形结合
分析：（Ⅰ）证法一：如图2-1，连接PO并延长交⊙O于点D，E，连接BD、AE，易证得△PBD∽△PEA，然后由相似三角形的对应边成比例，可得PA•PB=PD•PE，由图1知，PC 2=PD•PE，即可证得结论；
证法二：如图2-2，过点C作⊙O的直径CD，连接AD，BC，AC，由PC是⊙O的切线，易证得△PBC∽△PCA，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论；
（Ⅱ）（1）由（1）得，PC 2=PA•PB，PC=12，AB=PA，即可求得PC 2=PA•PB=PA（PA+AB）=2PA2，继而求得答案；
（2）证法一：过点A作AF∥BC，交PD于点F，由平行线分线段成比例定理即可求得
=
，
=
，又由PC 2=PA•PB，即可证得结论；
证法二：过点A作AG∥DP，交BC于点G，由平行线分线段成比例定理即可求得
=
，
=
，又由PC 2=PA•PB，即可证得结论．
证法二：如图2-2，过点C作⊙O的直径CD，连接AD，BC，AC，由PC是⊙O的切线，易证得△PBC∽△PCA，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论；
（Ⅱ）（1）由（1）得，PC 2=PA•PB，PC=12，AB=PA，即可求得PC 2=PA•PB=PA（PA+AB）=2PA2，继而求得答案；
（2）证法一：过点A作AF∥BC，交PD于点F，由平行线分线段成比例定理即可求得
| PB |
| PA |
| BD |
| AF |
| CD |
| AF |
| CE |
| AE |
证法二：过点A作AG∥DP，交BC于点G，由平行线分线段成比例定理即可求得
| PB |
| PA |
| BD |
| GD |
| CD |
| DG |
| CE |
| AE |
解答：
解：（Ⅰ）当PB不经过⊙O的圆心O时，等式PC 2=PA•PB仍然成立．
证法一：如图2-1，连接PO并延长交⊙O于点D，E，连接BD、AE，
∴∠B=∠E，∠BPD=∠APE，
∴△PBD∽△PEA，
∴
=
，
即PA•PB=PD•PE，
由图1知，PC2=PD•PE，
∴PC2=PA•PB．
证法二：如图2-2，过点C作⊙O的直径CD，连接AD，BC，AC，
∵PC是⊙O的切线，
∴PC⊥CD，
∴∠CAD=∠PCD=90°，
即∠1+∠2=90°，∠D+∠1=90°，
∴∠D=∠2．
∵∠D=∠B，
∴∠B=∠2，
∠P=∠P，
∴△PBC∽△PCA，
所以
=
，
即PC 2=PA•PB．
（Ⅱ）由（1）得，PC2=PA•PB，PC=12，AB=PA，
∴PC2=PA•PB=PA（PA+AB）=2PA2，
∴2PA2=144，
∴PA=±6
（负值无意义，舍去）．
∴PA=6
．
（2）证法一：过点A作AF∥BC，交PD于点F，
∴
=
，
=
．
∵D为BC的中点，
∴BD=CD，
∴
=
，
∴
=
．
∵PC 2=PA•PB，
∴
=
=
=
，
即
=
．
证法二：过点A作AG∥DP，交BC于点G，
∴
=
，
=
．
∵D为BC的中点，
∴BD=CD，
∴
=
，
∴
=
．
∵PC 2=PA•PB，
∴
=
=
=
，
即
=
．
解：（Ⅰ）当PB不经过⊙O的圆心O时，等式PC 2=PA•PB仍然成立．证法一：如图2-1，连接PO并延长交⊙O于点D，E，连接BD、AE，
∴∠B=∠E，∠BPD=∠APE，
∴△PBD∽△PEA，
∴
| PD |
| PA |
| PB |
| PE |
即PA•PB=PD•PE，
由图1知，PC2=PD•PE，
∴PC2=PA•PB．
证法二：如图2-2，过点C作⊙O的直径CD，连接AD，BC，AC，∵PC是⊙O的切线，
∴PC⊥CD，
∴∠CAD=∠PCD=90°，
即∠1+∠2=90°，∠D+∠1=90°，
∴∠D=∠2．
∵∠D=∠B，
∴∠B=∠2，
∠P=∠P，
∴△PBC∽△PCA，
所以
| PA |
| PC |
| PC |
| PB |
即PC 2=PA•PB．
（Ⅱ）由（1）得，PC2=PA•PB，PC=12，AB=PA，
∴PC2=PA•PB=PA（PA+AB）=2PA2，
∴2PA2=144，
∴PA=±6
| 2 |
∴PA=6
| 2 |
（2）证法一：过点A作AF∥BC，交PD于点F，
∴
| PB |
| PA |
| BD |
| AF |
| CD |
| AF |
| CE |
| AE |
∵D为BC的中点，
∴BD=CD，
∴
| BD |
| AF |
| CD |
| AF |
∴
| PB |
| PA |
| CE |
| AE |
∵PC 2=PA•PB，
∴
| PC2 |
| PA2 |
| PA•PB |
| PA2 |
| PB |
| PA |
| CE |
| AE |
即
| PC2 |
| PA2 |
| CE |
| AE |
证法二：过点A作AG∥DP，交BC于点G，
∴
| PB |
| PA |
| BD |
| GD |
| CD |
| DG |
| CE |
| AE |
∵D为BC的中点，
∴BD=CD，
∴
| BD |
| GD |
| CD |
| DG |
∴
| PB |
| PA |
| CE |
| AE |
∵PC 2=PA•PB，
∴
| PC2 |
| PA2 |
| PA•PB |
| PA2 |
| PB |
| PA |
| CE |
| AE |
即
| PC2 |
| PA2 |
| CE |
| AE |
点评：此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质以及圆周角定理等知识．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
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