Question

6．在面积为900的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，作AF垂直于直线CD于点F，若AB=30，BC=50，则FE的长为6$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 根据平行四边形面积求出AE和AF，根据勾股定理得到BE=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}$=24，DF=$\sqrt{A{D}^{2}-A{F}^{2}}$=40，CE=26，CF=10，通过△AEO∽△CFO，根据相似三角形的性质得到$\frac{OE}{OF}=\frac{AO}{CO}=\frac{AE}{CF}$=$\frac{18}{10}$=$\frac{9}{5}$，求得EO=13.5，OC=12.5，AO=22.5，OF=7.5，根据勾股定理得到AC=$\sqrt{A{E}^{2}+E{C}^{2}}$=10$\sqrt{10}$，推出A，E，F，C四点共圆，证得△AOC∽△EOF根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：如图，连接AC，EF，
∵平行四边形ABCD的面积=900，AE⊥BC，AF⊥CD，AB=30，BC=50，
∴AF=900÷30=30，AE=900÷50=18，
在Rt△ABE与Rt△AFD中，BE=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}$=24，DF=$\sqrt{A{D}^{2}-A{F}^{2}}$=40，
∴CE=26，CF=10，
∵∠AEO=∠CFO，∠AOE=∠COF，
∴△AEO∽△CFO，
∴$\frac{OE}{OF}=\frac{AO}{CO}=\frac{AE}{CF}$=$\frac{18}{10}$=$\frac{9}{5}$，
∴EO=13.5，OC=12.5，AO=22.5，OF=7.5，
在Rt△AEC中，AC=$\sqrt{A{E}^{2}+E{C}^{2}}$=10$\sqrt{10}$，
∵∠AEC=∠AFC=90°，
∴A，E，F，C四点共圆，
∴∠CAF=∠FEC，
∵∠AOC=∠EOF，
∴△AOC∽△EOF，
∴$\frac{AC}{EF}=\frac{AO}{OE}$，
即$\frac{10\sqrt{10}}{EF}=\frac{22.5}{13.5}$，
∴EF=6$\sqrt{10}$．
故答案为：6$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了平行四边形性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．