Question

如图，已知A（2，0）、B（-1，0）、C（0，-1），在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：等腰三角形的判定,坐标与图形性质

专题：

分析：设出点P的横坐标，根据直线BC的解析式表示出P点的纵坐标，然后利用坐标系两点间的距离公式分别表示出△ACP三边的长，从而根据：①AP=CP、②AC=AP、③CP=AC，三种不同等量关系求出符合条件的P点坐标．

解答：解：设直线BC的解析式为y=kx+b，
代入点B（-1，0）、C（0，-1），
求得y=-x-1；
设P（x，-x-1），因为A（2，0），C（0，-1），则有：
AP²=（x-2）²+（-x-1）²=2x²-2x+5，
AC²=5，CP²=x²+（-x-1+1）²=2x²；
①当AP=CP时，AP²=CP²，有：
2x²-2x+5=2x²，解得x=2.5，
∴P₁（2.5，-3.5）；
②当AP=AC时，AP²=AC²，有：
2x²-2x+5=5，解得x=0（舍去），x=1，
∴P₂（1，-2）；
③当CP=AC时，CP²=AC²，有：
2x²=5，解得x=±

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，
∴P₃（

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，-

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2

-1），P₄（-

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，

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-1）；
综上所述，存在符合条件的P点，且P点坐标为：P₁（2.5，-3.5）、P₂（1，-2）、P₃（

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，-

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2

-1）、P₄（-

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2

，

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2

-1）．

点评：此题考查等腰三角形的判定与性质，同时还考查了分类讨论、数形结合的数学思想．