Question

如图，一个小朋友玩“滚铁环”游戏，铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁环与铁钩相切，这个游戏抽象为数学问题，如图，已知铁环的半径为25cm，铁环中心为O，铁环钩与铁环相切点为M，铁环也地面接触点为A，且sin∠MOA=

3

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．
（1）求点M离地面AC的高度BM．
（2）设人站立点C与A点的水平距离AC=55cm，求铁环钩MF的长度．

Answer 1

考点：切线的性质,解直角三角形的应用

专题：

分析：（1）过M作与AC平行的直线，与OA、FC分别相交于H、N．那么求BM的长就转化为求HA的长，而要求出HA，必须先求出OH，在直角三角形OHM中，sinα的值，且铁环的半径为5个单位即OM=5，可求得HM的值，从而求得HA的值；
（2）因为∠MOH+∠OMH=∠OMH+∠FMN=90°，∠FMN=∠MOH，又因为sin∠MOA=

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，所以可得出FN和FM之间的数量关系，即FN=

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FM，再根据MN=11-3=8，利用勾股定理即可求出FM=10个单位．

解答：解：过M作与AC平行的直线，与OA、FC分别相交于H、N．
（1）在Rt△OHM中，∠OHM=90°，OM=25，
HM=OM×sinα=15，
所以OH=20，
MB=HA=25-20=5，
所以铁环钩离地面的高度为5cm；

（2）∵铁环钩与铁环相切，
∴∠MOH+∠OMH=∠OMH+∠FMN=90°，∠FMN=∠MOH，
∴

FN

FM

=sin∠MOA=

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，
∴FN=

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FM，
在Rt△FMN中，∠FNM=90°，MN=BC=AC-AB=55-15=40．  
∵FM²=FN²+MN²
即FM²=（

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FM）²+40²，
解得：FM=50，
∴铁环钩的长度FM为50cm．

点评：考查了解直角三角形的应用，解此题的关键是把实际问题转化为数学问题，只要把实际问题抽象到解直角三角形中即可解答．