题目内容
如图所示，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，顶点C在y轴上，OA、OB的长是关于x的方程x2-25x+144=0的两个根（OA＞OB）．（1）求直线AC的解析式；
（2）点P为AC边上的点，且∠ABP=∠CBP，求过点P的反比例函数解析式；
（3）若Q为y轴上的点，问在坐标平面内是否存在K，使以B、C、Q、K为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出K点坐标；若不存在，请说明理由．
考点：反比例函数综合题
专题：综合题
分析：（1）由OA与OB的长是关于x的方程x2-25x+144=0的两个根，求出方程的解得到OA与OB的长，进而求出OA•OB的值，由△ABC为直角三角形，且OC⊥AB，利用同角的余角相等得到一对角相等，得到△AOC与△BOC相似，由相似得比例，得到OC2=OA•OB，求出OC的长，确定出C坐标，设直线AC解析式为y=kx+b，将A与C坐标代入求出k与b的值，即可确定出直线AC解析式；
（2）过P作PM垂直于x轴，利用角平分线定理得到PC=PM，且BC=BM，求出BM的长，由AB-MB求出AM的长，在直角三角形AMP中，设MP=x，则AP=AC-CP=AC-PM=20-x，根据勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出PM的长，由OA-AM求出OM的长，得出P的坐标，代入y=
中求出m的值，即可确定出反比例解析式；
（3）存在，如图所示，BQ=BC=15，OB=OK=9，OQ=OC=12，此时四边形BCKQ为菱形，求出此时K的坐标即可．
（2）过P作PM垂直于x轴，利用角平分线定理得到PC=PM，且BC=BM，求出BM的长，由AB-MB求出AM的长，在直角三角形AMP中，设MP=x，则AP=AC-CP=AC-PM=20-x，根据勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出PM的长，由OA-AM求出OM的长，得出P的坐标，代入y=
| m |
| x |
（3）存在，如图所示，BQ=BC=15，OB=OK=9，OQ=OC=12，此时四边形BCKQ为菱形，求出此时K的坐标即可．
解答：
解：（1）∵OA、OB的长是关于x的方程x2-25x+144=0的两个根（OA＞OB），
∴OA=16，OB=9，
∴A（-16，0），
∵∠ACB=∠AOC=∠BOC=90°，
∴∠ACO+∠BCO=90°，∠OAC+∠ACO=90°，
∴∠BCO=∠OAC，
∴△AOC∽△COB，
∴
=
，即OC2=OA•OB=144，
∴OC=12，即C（0，-12），
设直线AC解析式为y=kx+b，
将A与C坐标代入得：
，
解得：k=-
，b=-12，
则直线AC解析式为y=-
x-12；
（2）在Rt△OBC中，OB=9，OC=12，
根据勾股定理得：BC=
=15，
同理得到AC=20，AB=OA+OB=25，
过P作PM⊥BA，垂足为M，
∵BP为∠AC平分线，且PC⊥BC，
∴BM=BC=15，PM=PC，AM=AB-BM=10，OM=AO-AM=16-10=6，
在Rt△APM中，设MP=x，则AP=AC-PC=AC-PM=20-x，
根据勾股定理得：AP2=AM2+PM2，即（20-x）2=102+x2，
解得：x=
，即MP=
，
∴P（-6，-
），
设过P点的反比例解析式为y=
，
将P坐标代入得：m=45，
则反比例解析式为y=
；
（3）存在，如图所示，在x轴负半轴上，以O为圆心，OB长为半径截取OK=OB=9，在y轴正半轴上，以O为圆心，OC长为半径截取OQ=OC=12，连接BQ，KQ，KC，
∵OQ=OC，OB=OK，
∴四边形BQKC为平行四边形，
∵BQ=BC，
∴四边形BQKC为菱形，
则此时K坐标为（-9，0）．
同理，（9，-15），（9，15），（9，-
）也满足条件．
综上所述，K的坐标为（-9，0）或（9，-15）或（9，15）或（9，-
）
解：（1）∵OA、OB的长是关于x的方程x2-25x+144=0的两个根（OA＞OB），∴OA=16，OB=9，
∴A（-16，0），
∵∠ACB=∠AOC=∠BOC=90°，
∴∠ACO+∠BCO=90°，∠OAC+∠ACO=90°，
∴∠BCO=∠OAC，
∴△AOC∽△COB，
∴
| OC |
| OB |
| OA |
| OC |
∴OC=12，即C（0，-12），
设直线AC解析式为y=kx+b，
将A与C坐标代入得：
|
解得：k=-
| 3 |
| 4 |
则直线AC解析式为y=-
| 3 |
| 4 |
（2）在Rt△OBC中，OB=9，OC=12，
根据勾股定理得：BC=
| 92+122 |
同理得到AC=20，AB=OA+OB=25，
过P作PM⊥BA，垂足为M，
∵BP为∠AC平分线，且PC⊥BC，
∴BM=BC=15，PM=PC，AM=AB-BM=10，OM=AO-AM=16-10=6，
在Rt△APM中，设MP=x，则AP=AC-PC=AC-PM=20-x，
根据勾股定理得：AP2=AM2+PM2，即（20-x）2=102+x2，
解得：x=
| 15 |
| 2 |
| 15 |
| 2 |
∴P（-6，-
| 15 |
| 2 |
设过P点的反比例解析式为y=
| m |
| x |
将P坐标代入得：m=45，
则反比例解析式为y=
| 45 |
| x |
（3）存在，如图所示，在x轴负半轴上，以O为圆心，OB长为半径截取OK=OB=9，在y轴正半轴上，以O为圆心，OC长为半径截取OQ=OC=12，连接BQ，KQ，KC，
∵OQ=OC，OB=OK，
∴四边形BQKC为平行四边形，
∵BQ=BC，
∴四边形BQKC为菱形，
则此时K坐标为（-9，0）．
同理，（9，-15），（9，15），（9，-
| 75 |
| 8 |
综上所述，K的坐标为（-9，0）或（9，-15）或（9，15）或（9，-
| 75 |
| 8 |
点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，待定系数法确定函数解析式，坐标与图形性质，一元二次方程的解法，勾股定理，平行四边形及菱形的判定，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
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