Question

4．如图，△ABC中，∠ABC=40°，BD平分∠ABC，BC=BD+AD．求证：AB=AC．

Answer 1

分析 在BC上取一点E，是BE=BD，作DF⊥BA于F，DG⊥BC于G，由角平分线的性质就可以得出DF=DG，进而可以得出△DAF≌△DEG，就有DA=DE，再由求出DE=CE就可以得出结论．

解答 解：在BC上取一点E，是BE=BD，作DF⊥BA于F，DG⊥BC于G，
∴∠DFA=∠DGE=90°．
∵BD平分∠ABC，DF⊥BA，DG⊥BC，
∴DF=DG．
∵∠ABC=40°，
∴∠ABD=∠DBE=20°，
∴∠BDF=70°，
∵BE=BD，∠DBC=20°，
∴∠BED=∠BDE=80°，
∴∠BDF=∠BED，
在△DAF和△DEG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DFA=∠DGE}\\{∠BAC=∠BED}\\{DF=DG}\end{array}\right.$，
∴△DAF≌△DEG（AAS），
∴AD=ED，
∵BC=BD+AD，
∴BC=BD+DE=BE+CE，
∴DE=CE，
∵∠BED=∠C+∠EDC，
∴80°=∠C+∠EDC，
∴∠C=40°，
∴∠ABC=∠C，
∴AB=AC．

点评 本题考查了等腰三角形的性质的运用，角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时合理添加辅助线是解答本题的关键．