在数学课上.老师要求学生探究如下问题:(1)如图1.在等边三角形ABC内有一点P.且PA=2.PB=$\sqrt{3}$.PC=1.试求∠BPC的度数．李华同学一时没有思路.当他认真分析题目信息后.发现以PA.PB.PC的长为边构成的三角形是直角三角形.他突然有了正确的思路:如图2.将△BPC绕点B逆时针旋转60°.得到△BP′A.连接PP′.易得△P′PB是等边三角� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

16．在数学课上，老师要求学生探究如下问题：
（1）如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=$\sqrt{3}$，PC=1，试求∠BPC的度数．李华同学一时没有思路，当他认真分析题目信息后，发现以PA、PB、PC的长为边构成的三角形是直角三角形，他突然有了正确的思路：如图2，将△BPC绕点B逆时针旋转60°，得到△BP′A，连接PP′，易得△P′PB是等边三角形，△PP′A是直角三角形．则∠BPC=150°．
（2）如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=$\sqrt{5}$，BP=$\sqrt{2}$，PC=1，试求∠BPC的度数．
（3）如图4，在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA=2$\sqrt{13}$，PB=4，PC=2．
①∠BPC=120°；
②求正六边形ABCDEF的边长．

分析（1）将△PBC逆时针旋转60°得△P′BA，连接PP′，就可以求得∠AP′P=90°，求出∠BP′A的度数，从而可以求出结论；
（2）仿照（1）中的思路，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到了△BP′A，然后连结PP′，根据旋转的性质结合勾股定理的逆定理可得△AP′P是直角三角形，可得从而得出结论；
（3）①仿照（1）中的思路，将△BPC绕点B逆时针旋转120°，得到了△BP′A，然后连结PP′，根据旋转的性质，从而得出△BPP′为等腰三角形，由∠ABC=120°，就有可以求得PP′的长，由勾股定理的逆定理就可以求出∠AP′P=90°从而得出结论；
②延长A P′作BG⊥AP′于点G，在Rt△P′BG中，就可以得出P′G，BG的长，在Rt△ABG中，根据勾股定理得AB的长．

解答解：（1）如答题图1，

∵将△BPC绕点B逆时针旋转60°，得到△BP′A，连接PP′
∴BP′=BP，∠PBP′=60°，
∴△P′PB是等边三角形，
∵PA=2，PB=PP′=$\sqrt{3}$，PC=AP′=1，
∴P′A²+P′P²=AP²，
∴△PP′A是直角三角形，
∴∠AP′P=90°，
∴∠BPC=∠AP′P+∠BP′P=150°；
故答案为：150°；

（2）如答题图2，

将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，
则BP′=BP，∠PBP′=90°，
故PP′=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=2，∠BP′P=∠BPP′=45°，
∵PA=$\sqrt{5}$，P′P=2，PC=AP′=1，
∴P′P²+P′A²=PA²，
∴△AP′P是直角三角形，
∴∠AP′B=∠BPC=45°+90°=135°；

（3）①如答题图3，

将△BPC绕点B逆时针旋转120°，得到△BP′A，连接PP′，过点B作BN⊥PP′，
∵BP=BP′=4，∠PBP′=120°，
∴∠BP′P=∠BPP′=30°，
∴BN=2，PN=P′N=2$\sqrt{3}$，
∴PP′=4$\sqrt{3}$，
∵PA=2$\sqrt{13}$，PC=2，则AP′=2，
∴AP²=P′A²+P′P²，
∴△AP′P是直角三角形，
∴∠AP′P=90°，
∴∠BPC=∠AP′P+∠PP′B=120°；
故答案为：120°；

②如答题图4，

延长A P′作BG⊥AP′于点G，
在Rt△P′BG中，P′B=4，∠BP′G=60°，
∴P′G=2，BG=2$\sqrt{3}$，
∴AG=P′G+P′A=2+2=4，
在Rt△ABG中，由勾股定理得：AB=2$\sqrt{7}$．