如图.在直角坐标系中.点P的坐标是.抛物线y=-x2+bx+c经过原点O和点P.已知正方形ABCD的三个顶点为A．(1)若当n=4时求c.b并写出抛物线对称轴及y的最大值,(2)求证:抛物线的顶点在函数y=x2的图象上,(3)若抛物线与直线AD交于点N.求n为何值时.△NPO的面积为1,(4)若抛物线经过正方形区域ABCD.请直接写出n的取值范围．(参� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．

如图，在直角坐标系中，点P的坐标是（n，0）（n＞0），抛物线y=-x²+bx+c经过原点O和点P，已知正方形ABCD的三个顶点为A（2，2），B（3，2），D（2，3）．
（1）若当n=4时求c，b并写出抛物线对称轴及y的最大值；
（2）求证：抛物线的顶点在函数y=x²的图象上；
（3）若抛物线与直线AD交于点N，求n为何值时，△NPO的面积为1；
（4）若抛物线经过正方形区域ABCD（含边界），请直接写出n的取值范围．
（参考公式：y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-$\frac{b}{2a}$，$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$）．

分析（1）把原点和P点坐标代入抛物线解析式可求得b、c，则可求得抛物线解析式，化为顶点式可求得其对称轴和最大值；
（2）用n可表示出抛物线的解析式，则可求得其顶点坐标，代入y=x²进行验证即可；
（3）可用n表示出N点坐标，则可表示出N到x轴的距离和OP的长，可表示出△NPO的面积，可得到关于n的方程，可求得n的值；
（4）分别把A、B、C、D的坐标代入抛物线解析式可求得n的值，则可求得n的取值范围．

解答解：
（1）当n=4时，则P（4，0），
∵抛物线y=-x²+bx+c经过原点O和点P，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{-16+4b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{c=0}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-x²+4x=-（x-2）²+4，
∴抛物线对称轴为直线x=2，
∵-1＜0，
∴当x=2时，y有最大值4；
（2）把O、P的坐标代入抛物线解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{-{n}^{2}+bn=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=n}\\{c=0}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-x²+nx=-（x-$\frac{n}{2}$）²+$\frac{{n}^{2}}{4}$，
∴抛物线顶点坐标为（$\frac{n}{2}$，$\frac{{n}^{2}}{4}$），
在y=x²中，当x=$\frac{n}{2}$时，y=$\frac{{n}^{2}}{4}$，
∴抛物线的顶点在函数y=x²的图象上；
（3）在y=-x²+nx中，当x=2时，y=2n-4，
∴N点坐标为（2，2n-4），
∴N到x轴的距离为|2n-4|=2|n-2|，
∵P（n，0），
∴OP=n，
∴S_△NPO=$\frac{1}{2}$n×2|n-2|=n|n-2|，
当△NPO的面积为1时，则有n|n-2|=1，
当n=2时，N、P重合，不成立，
当n＞2时，则n²-2n=1，解得n=1+$\sqrt{2}$或n=1-$\sqrt{2}$（此时n小于2，舍去），
当0＜n＜2时，则2n-n²=1，解得n₁=n₂=1，
综上可知当n的值为1+$\sqrt{2}$或1时，△NPO的面积为1；
（4）∵抛物线解析式为y=-x²+nx，
∴当过A（2，2）时，代入可得2=-4+2n，解得n=3，
同理当抛物线过B时可求得n=$\frac{11}{3}$，当抛物线过点C时可求得n=4，当抛物线过点D时可求得n=$\frac{7}{2}$，
∴n的取值范围为3≤n≤4．

点评本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、三角形的面积、函数图象上点的坐标特征及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在（2）中用n表示出顶点坐标是解题的关键，在（3）中用N点坐标表示出△NPO的面积是解题的关键，在（4）中分别求得过每个点时的n的值是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．