Question

已知在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE=CD，F为CE的中点，G为CD上的一点，连接DF、EG、AG，并延长AG、BC交于点H，∠DFC=∠EGC．
（1）若CF=2，AE=3，求BE的长；
（2）求证：点G为CD中点；
（3）求证：∠AGE=2∠CEG．

Answer 1

考点：平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）求出DC=CE=2CF=4，求出AB，根据勾股定理求出BE即可；
（2）过G作GM⊥AE于M，证△DCF≌△ECG，推出CG=CF，求出M为AE中点，
（3）由（2）可得出等腰三角形AGE，根据性质得出GM是∠AGE的角平分线，即可得出答案．

解答：（1）解：∵CE=CD，点F为CE的中点，CF=2，
∴DC=CE=2CF=4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=4，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE=

AB2-AE2

=

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；

（2）证明：过G作GM⊥AE于M，
∵AE⊥BE，GM⊥AE，
∴GM∥BC∥AD，
∵在△DCF和△ECG中，

∠1=∠2  ∠C=∠C  CD=CE

，
∴△DCF≌△ECG（AAS），
∴CG=CF，
∵CE=CD，CE=2CF，
∴CD=2CG，
即G为CD中点；

（3）∵AD∥GM∥BC，G为CD中点，
∴M为AE中点，
∴AM=EM，
∵GM⊥AE，
∴AG=EG，
∴∠AGM=∠EGM，
∴∠AGE=2∠MGE，
∵GM∥BC，
∴∠EGM=∠CEG，
∴∠AGE=2∠CEG．

点评：本题考查了平行四边形性质，等腰三角形的性质和判定，平行线分线段成比例定理，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识点的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力．