Question

12．如图所示，在△ABC中，CD是AB边上的高，且AC•BD=BC•CD．求证：
（1）△ACD∽△CDB；
（2）$\frac{A{C}^{2}}{B{C}^{2}}$=$\frac{AD}{BD}$．

Answer 1

分析 （1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明△ACD∽△CBD；
（2）由（1）知△ACD∽△CBD，然后根据相似三角形的对应角相等可得：∠A=∠BCD，然后由∠A+∠ACD=90°，可得：∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°，进一步得出△ADC∽△ACB，△BCD∽△ACB，进一步利用相似的性质得出结论即可．

解答 证明：（1）∵CD是边AB上的高，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∵AC•BD=BC•CD，
∴$\frac{AC}{BC}$=$\frac{CD}{BD}$，
∴△ACD∽△CBD；
（2）∵△ACD∽△CBD，
∴∠A=∠BCD，
在△ACD中，∠ADC=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠BCD+∠ACD=90°，
即∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB，△BCD∽△ACB，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AD}{AC}$，$\frac{BC}{AB}$=$\frac{BD}{BC}$，
∴AC²=AB•AD，BC²=AB•BD，
∴$\frac{A{C}^{2}}{B{C}^{2}}$=$\frac{AD}{BD}$．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟记相似三角形的判定定理与性质．