Question

如图，在△ABC中两个外角∠EAC和∠FCA的平分线交于D点，求证：∠ADC=90°-

1

2

∠ABC．

Answer 1

考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：证明题

分析：先根据角平分线的定义得到∠1=

1

2

∠EAC，∠2=

1

2

∠ACF，再利用邻补角的定义得∠BAC=180°-∠EAC，∠ACB=180°-∠ACF，则∠BAC+∠ACB=360°-2（∠1+∠2），然后根据三角形内角和定理得到∠BAC+∠ACB=180°-∠B，∠1+∠2=180°-∠D，所以180°-∠B=360°-2（180°-∠D），再进行整理即可得到结论．

解答：证明：∵DA和DC为△ABC的两外角平分线，
∴∠1=

1

2

∠EAC，∠2=

1

2

∠ACF，
∵∠BAC=180°-∠EAC，∠ACB=180°-∠ACF，
∴∠BAC=180°-2∠1，∠ACB=180°-2∠2，
∴∠BAC+∠ACB=360°-2（∠1+∠2），
∵∠BAC+∠ACB=180°-∠B，∠1+∠2=180°-∠D，
∴180°-∠B=360°-2（180°-∠D），
∴180°-∠B=2∠D，
即∠ACD=90°-

1

2

∠ABC．

点评：本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和定理：三角形内角和是180°．