Question

17．如图，△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C为它们的公共直角顶点，连AD，BE，F为线段AD的中点，连接CF
（1）如图1，当D点在BC上时，求证：①BE=2CF，②BE⊥CF．
（2）如图2，把△DEC绕C点顺时针旋转一个锐角，其他条件不变，问（1）中的关系是否仍然成立？如果成立请证明．如果不成立，请写出相应的正确的结论并加以证明．

Answer 1

分析 （1）①由条件可证明Rt△ADC≌Rt△BEC，可证得BE=AD，再利用直角三角形的性质可证明BE=2CF；②由直角三角形的性质可得CF=DF，可证明∠FCD=∠ADC，可证得∠EBC+∠FCD=90°，可证明结论；
（2）延长CF到M，使FM=FC，连接AM，DM，可证明四边形ACDM为平行四边形，进一步可证明△MAC≌△ECB，则可得MC=BE，可证得BE=2CF，再结合∠ACB=90°，可证明BE⊥CF．

解答 （1）证明：
①∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，
∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=90°，
在△BCE和△ACD中
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCE=∠ACD}\\{CE=CD}\end{array}\right.$
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE=AD，∠EBC=∠DAC，
∵F为线段AD的中点，
∴CF=AF=DF=$\frac{1}{2}$AD
∴BE=2CF；
②∵AF=CF，
∴∠DAC=∠FCA，
∵∠BCF+∠ACF=90°，
∴∠BCF+∠EBC=90°，
即BE⊥CF；
（2）旋转一个锐角后，（1）中的关系依然成立．
证明：如图2，延长CF到M，使FM=FC，连接AM，DM，
又AF=DF，
∴四边形AMDC为平行四边形
∴AM=CD=CE，∠MAC=180°-∠ACD，
∠BCE=∠BCA+∠DCE-∠ACD=180°-∠ACD，
即∠MAC=∠BCE，
在△MAC和△ECB中
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠MAC=∠BCE}\\{AM=CE}\end{array}\right.$
∴△MAC≌△ECB（SAS），
∴CM=BE；∠ACM=∠CBE，
∴BE=CM=2CF；
∴∠CBE+∠BCM=∠ACM+∠BCM=90°，
即BE⊥CF．

点评 本题主要考查三角形的综合应用，涉及知识点有等腰三角形、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等．在（1）中注意直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，在（2）中构造三角形全等是解题的关键．本题知识点较多，但是思路清晰，难度不大，属于基础题．