Question

6．如图，已知二次函数y=ax²+bx+8（a≠0）的图象与x轴相交于点A（-2，0），B，与y轴相交于点C，tan∠ABC=2．
（1）抛物线的解析式为y=-（x-1）²+9，其顶点D的坐标为（1，9）；
（2）设置点CD交x轴于点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴向上平移，使抛物线与线段EF总有公共点，试探究：抛物线最多可以向上平移多少个单位长度？
（3）在线段OB的处置平分线上是否存在点P，是的经过点P的直线PM垂直于直线CD，且与直线OP的夹角为75°，若存在直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据正切函数，可得B点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得顶点坐标；
（2）根据待定系数法，可得CD的解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得E．F点坐标，根据函数图象向上平移加，可得平移后的解析式，根据抛物线与线段有交点，可得抛物线的函数值小于E、F的纵坐标，可得答案；
（3）根据四边形的内角和，可得∠MPN的度数，根据角的和差，可得∠OPN，根据三角函数，可得PN的长，可得P点坐标．

解答 解：（1）当x=0时，y=8，即C（0，8），
由tan∠ABC=2，得B（4，0）．
将A、B点坐标代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+8=0}\\{10a+4b+8=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
y=-x²+2x+8，
配方，得
y=-（x-1）²+9，顶点D（1，9），
故答案为：y=-（x-1）²+9，（1，9）；
（2）设直线CD的解析式为y=kx+8，
将D（1，9）代入函数解析式，
得k=1，
直线CD的解析式为y=x+8，
当y=0时，x=-8，即E（-8，0），
当x=4时，y=4+8=12，即F（4，12）．
设抛物线向上平移m各单位长度（m＞0）后抛物线的解析式为y=-（x-1）²+9+m，
当x=-8时，y=m-72，当x=4时，y=m，
∵抛物线向上平移后与线段EF总有公共点，
∴m-72≤0或m≤12，
∴0＜m≤72，
抛物线最多向上平移72个单位；
（3）存在符合条件的P点，P点坐标为（2，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）或（2，2$\sqrt{3}$）；
由（2）得点E（-8，0），OC=OE=8，∠CEB=45°，在四边形EMPN中，∠MPN=180°-∠CEB=135°（∠PME，∠PNO都是直角）
①当∠OPM=75°时，∠OPN=135°-75°=60°
在Rt△OPN中，ON=$\frac{1}{2}$OB=2，sin∠PON=$\frac{PN}{ON}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，PN=$\frac{\sqrt{3}}{3}$ON=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，即P（2，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）；
②当∠OPQ=75°时，∠OPN=135°+75°-180°=30°，
在Rt△OPN中ON=$\frac{1}{2}$OB=2，PN=2$\sqrt{3}$，
综上所述，存在符合条件的点P，（2，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）或（2，2$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，利用配方法求函数顶点坐标；（2）利用图象与线段有交点得出不等式是解题关键；利用∠OPN是解题关键．