Question

17．已知，如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，AE=2DE，AE=3，BE=4，CE=5，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 延长AD到F，使ED=DF，连接BF，于是得到EF=AE=3，通过△BDF≌△CDE，得到BF=CE=5，根据勾股定理的逆定理得到∠BEF=90°，于是求得S_△BCE=2S_△BEF=2×$\frac{1}{2}$×3×4=12，由于AE=2DE，于是得到S_△ABE+S_△ACE=2S_△BCE=24，即可得到结论．

解答 解：延长AD到F，使ED=DF，连接BF，
∴EF=2DE，
∵AE=2DE，AE=3，
∴EF=AE=3，
在△BDF与△CED中，$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{∠BDF=∠CDE}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△CDE，
∴BF=CE=5，
∵BE=4，
∴BE²+EF²=4²+3²=5²=BF²，
∴∠BEF=90°，
∴S_△BCE=S_△BEF=$\frac{1}{2}$×3×4=6，
∵AE=2DE，
∴S_△ABE+S_△ACE=2S_△BCE=12，
∴S_△ABC=18．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理及逆定理，三角形的面积，熟练掌握勾股定理的逆定理是解本题的关键．