Question

7．阅读理解：配方中是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值．
对于任意正实数a、b，可作如下变形：a+b=（$\sqrt{a}$）²+（$\sqrt{b}$）²=（$\sqrt{a}$）²+（$\sqrt{b}$）²-2 $\sqrt{ab}$+2$\sqrt{ab}$=（$\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$）²+2$\sqrt{ab}$，
又∵（$\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$）²≥0，∴（$\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$）²+2$\sqrt{ab}$≥0+2$\sqrt{ab}$，即a+b≥2$\sqrt{ab}$．
根据上述内容，回答下列问题：在a+b≥2$\sqrt{ab}$（a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥2$\sqrt{p}$，当且仅当a、b满足a=b时，a+b有最小值2$\sqrt{p}$．
（2）思考验证：如图1，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，CO为AB边上中线，AD=2a，DB=2b，试根据图形验证a+b≥2$\sqrt{ab}$成立，并指出等号成立时的条件．
（3）探索应用：如图2，已知A为反比例函数y=$\frac{4}{x}$的图象上一点，A点的横坐标为1，将一块三角板的直角顶点放在A处旋转，保持两直角边始终与x轴交于两点D、E，F（0，-3）为y轴上一点，连接DF、EF，求四边形ADFE面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据题中的例子即可直接得出结论；
（2）根据直角三角形的性质得出CO=a+b，CD=$\sqrt{ab}$，再由（1）中的结论即可得出等号成立时的条件；
（3）过点A作AH⊥x轴于点H，根据S_{四边形ADFE}=S_△ADE+S_△FDE可知当DH=EH时DE最小，由此可得出结论．

解答 解：（1）∵a+b≥2$\sqrt{ab}$，a、b均为正实数，
∴当且仅当a、b满足a=b时，a+b有最小值．
故答案为：a=b；

（2）∵△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，CO为AB边上中线，AD=2a，DB=2b，
∴OC=$\frac{1}{2}$（AD+BD）=a+b，CD=2$\sqrt{ab}$，OC≥CD，即a+b≥2$\sqrt{ab}$，
∴当点D与点O重合时等式成立；

（3）如图所示，过点A作AH⊥x轴于点H，
∵S_{四边形ADFE}=S_△ADE+S_△FDE=$\frac{1}{2}$DE•|y_A|+$\frac{1}{2}$DE•OF=$\frac{1}{2}$DE（y_A+OF），
∴当DH=EH时DE最小，
∴A点的横坐标为1，
∴AH=4，
∴DE最小为8，
∴S_{四边形ADFE}=$\frac{1}{2}$×8×（4+3）=28．

点评 本题考查的是反比例函数综合题，涉及到用配方法可求最大（小）值，在a+b≥2$\sqrt{ab}$（a、b均为正实数）中，若ab为定值，则当且仅当a、b满足a=b时，a+b有最小值2$\sqrt{ab}$是解答此题的关键．