Question

18．数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图1，正方形ABCD的边长为12，P为边BC延长线上的一点，E为DP的中点，DP的垂直平分线交边DC于M，交边AB的延长线于N．当CP=6时，EM与EN的比值是多少？
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过E作直线平行于BC交DC，AB分别于F，G，如图2，则可得：$\frac{DF}{FC}=\frac{DE}{EP}$，因为DE=EP，所以DF=FC．可求出EF和EG的值，进而可求得EM与EN的比值．
（1）请按照小明的思路写出求解过程．
（2）小东又对此题作了进一步探究，得出了DP=MN的结论．你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）过E作EG∥BC交DC于F，交AB于点G，如图，由EF∥PC，可证明△DEF∽△DPC，利用相似比可得DF=$\frac{1}{2}$DC=6，EF=$\frac{1}{2}$PC=3，则EG=GF+EF=15，然后根据平行线分线段成比例，由FM∥GN得到$\frac{EM}{EN}$=$\frac{EF}{EG}$=$\frac{1}{5}$；
（2）作MH∥BC交AB于点H，如图2，则MH=CB=CD，先证明∠1=∠2，然后根据“ASA”可证明△DPC≌△MNH，从而得到DP=MN．

解答 （1）解：过E作EG∥BC交DC于F，交AB于点G，如图，
∵NE垂直平分DP，
∴DE=EP，
∵EF∥PC，
∴△DEF∽△DPC，
∴$\frac{DF}{DC}$=$\frac{EF}{PC}$=$\frac{DE}{DP}$=$\frac{1}{2}$
∴DF=$\frac{1}{2}$DC=6，EF=$\frac{1}{2}$PC=3，
∴EG=GF+EF=12+3=15，
∵FM∥GN，
∴$\frac{EM}{EN}$=$\frac{EF}{EG}$=$\frac{3}{15}$=$\frac{1}{5}$；
（2）结论正确．证明如下：
作MH∥BC交AB于点H，如图2，则MH=CB=CD，
∵NE⊥PD，
∴∠MED=90°，
∴∠2+∠DME=90°，
∵∠1+∠DME=90°，
∴∠1=∠2，
在△DPC和△MNH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠2=∠1}\\{DC=MH}\\{∠DCP=∠MHN}\end{array}\right.$，
∴△DPC≌△MNH，
∴DP=MN．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质．