Question

4．如图，△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，AD⊥BC于D，CE是∠ACB的平分线，且交AD于P点．如果AP=2，则AB的长为6．

Answer 1

分析 易得△AEP的等边三角形，则AE=AP=2，在直角△AEC中，利用含30度角的直角三角形的性质来求EC的长度，然后在等腰△BEC中得到BE的长度，则易求AB的长度．

解答 解：∵△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，
∴∠ACB=60°．
又∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ECB=30°，
∴∠AEC=∠B+∠ECB=60°，∠B=∠ECB
∴∠AEP=60°，BE=EC．
又AD⊥BC，
∴∠BAD=∠EAP=60°，
则∠AEP=∠EAP=60°，
∴△AEP的等边三角形，则AE=AP=2，
在直角△AEC中，∠ACE=30°，则EC=2AE=4，
∴BE=EC=4，
∴AB=BE+AE=6．
故答案是：6．

点评 本题考查了含30度角的直角三角形的性质、角平分线的性质以及等边三角形的判定与性质．利用三角形外角定理得到∠AEC=60°是解题的关键．