Question

14．如图，从一船上看到在它的南偏东30°方向的海面上有一座灯塔B，船以30海里/时的速度向东南方向航行，半小时后看到这个灯塔在船的正西方向，求此时船与灯塔的距离．

Answer 1

分析 船在C处，看到灯塔B在南偏东30°方向上，船以30海里/时的速度向东南方向航行，半小时后看到这个灯塔在船的正西方向，延长AB交OC于O，则必有AO⊥OC，根据∠OAC=∠OCA=45°，进而解直角三角函数求得OA和OB，进而根据AB=OA-OB求得即可．

解答 解：延长AB交OC于O，
根据题意AO⊥OC，AC=30×$\frac{1}{2}$=15海里，
在RT△AOC中，∵∠OAC=∠OCA=45°，
∴OA=OC=AC•sin45°=15×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{15\sqrt{2}}{2}$，
在RT△BOC中，∵∠OCB=30°，
∴OB=tan30°•OC=15×$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{5\sqrt{6}}{2}$，
∴AB=OA-OB=$\frac{15\sqrt{2}}{2}$-$\frac{5\sqrt{6}}{2}$=$\frac{15\sqrt{2}-5\sqrt{6}}{2}$．
故此时船与灯塔的距离为$\frac{15\sqrt{2}-5\sqrt{6}}{2}$海里．

点评 本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，等腰三角形的判定，正确理解方向角的定义是解题的关键．