Question

7．如图，已知A（-2，0），以B（0，1）为圆心，OB长为半径作⊙B，N是⊙B上一个动点，直线AN交y轴于M点，则△AOM面积的最大值是（　　）

• A． 2
• B． $\frac{8}{3}$
• C． 4
• D． $\frac{16}{3}$

Answer 1

分析 当直线AN与⊙B相切时，△AOM面积的最大．设BM=x，由切割线定理表示出MN，可证明△BNM∽△AOM，根据相似三角形的性质可求得x，然后求得△AOM面积．

解答 解：当直线AN与⊙B相切时，△AOM面积的最大．
连接AB、BN，
在Rt△AOB和Rt△ANB中
$\left\{\begin{array}{l}{OB=BN}\\{AB=AB}\end{array}\right.$
∴Rt△AOB≌Rt△ANB，
∴AN=AO=2，
设BM=x，
∴MN²=（BM-1）（BM+1），
∴MN=$\sqrt{{x}^{2}-1}$，
∵∠AOM=∠BNM=90°，∠AMO=∠BMN，
∴△BNM∽△AOM，
∴$\frac{BN}{OA}$=$\frac{MN}{OM}$，
即$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{{x}^{2}-1}}{x+1}$，
解得x=$\frac{5}{3}$，
S_△AOM=$\frac{OA•OM}{2}$=$\frac{2×（\frac{5}{3}+1）}{2}$=$\frac{8}{3}$．
故选：B．

点评 本题是一个动点问题，考查了切线的性质和三角形面积的计算，解题的关键是确定当射线AN与⊙B相切时，△AOM面积的最大．