Question

19．如图，已知菱形ABCD中，AC是对角线，∠B=60°．
（1）求作：△ABC的外接圆⊙O（要求：用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）判断AD所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）分别作AB和BC的垂直平分线，两垂直平分线相交于点O，然后以O为圆心，OA为半径作圆即可；
（2）由菱形的性质得AB=BC，∠B=60°，则可判断△ABC为等边三角形，于是得到点O为△BAC的内心，连接AO并延长AO交BC于点E，如图2，则AE平分∠BAC，根据等边三角形的性质得AE⊥BC，所以AE⊥AD，
然后根据切线的判定定理得到AD为⊙O的切线．

解答 解：（1）如图1，⊙O为所求作的圆．

（2）AD为⊙O的切线．理由如下：
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC，∠B=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴点O为△BAC的内心，
连接AO并延长AO交BC于点E，如图2，

∵AE平分∠BAC，
∴AE⊥BC，
∵AD∥BC，
∴AE⊥AD，
∴AD为⊙O的切线．

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了三角形的外心、菱形的性质和切线的判定．