Question

3．已知：如图，BE，DF分别平分∠ABD和∠BDC，且BE⊥DF．求证：AB∥CD．

Answer 1

分析 根据角平分线的性质得出∠ABE=∠DBE=$\frac{1}{2}$∠ABD，∠BDF=∠EDF=$\frac{1}{2}$∠BDE，根据BE⊥DF得出∠DBE+∠BDF=90°，从而得出∠ABD+∠BDE=180°，由平行线的判定方法即可得出AB∥CD．

解答 证明：∵BE⊥DF，
∠BFD=90°，
∴∠DBE+∠BDF=90°，
∵BE，DF分别平分∠ABD和∠BDC，
∴∠ABE=∠DBE=$\frac{1}{2}$∠ABD，∠BDF=∠EDF=$\frac{1}{2}$∠BDE，
∴∠ABD+∠BDE=2∠DBE+2∠BDF=180°，
∴AB∥CD．

点评 本题考查了平行线的判定，灵活运用角平分线的定义和角的和差的关系是解决本题的关键，注意正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角．